Axioma de regularidad para conjuntos y otros tipos

Question

En realidad, no se trata de una cuestión matemática, sino de una pregunta filosófica sobre la teoría en la que trabajan los matemáticos. Andreas Blass describe esta teoría T de la siguiente manera ( aquí ):

Los matemáticos suelen razonar en una teoría T que (con posibles variaciones menores entre matemáticos individuales) puede describirse como sigue. Se trata de una teoría de primer orden con muchos tipos. Los tipos incluyen números (naturales, reales, complejos), conjuntos, pares ordenados y otras tuplas, funciones, colectores, espacios proyectivos, espacios de Hilbert, etc. Hay axiomas que afirman las propiedades básicas de estos y las relaciones entre ellos. Por ejemplo, hay axiomas que dicen que los números reales forman un campo ordenado completo, que cualquier fórmula determina el conjunto de aquellos reales que la satisfacen (y de forma similar con otras clases en lugar de los reales), que dos tuplas son iguales si tienen la misma longitud e iguales componentes en todas las posiciones, etc.

No hay axiomas que intenten reducir una clase a otra. En particular, nada dice, por ejemplo, que los números naturales o los números reales sean conjuntos de cualquier tipo. (Diferentes matemáticos pueden discrepar en cuanto a si, por ejemplo, los números reales son un subconjunto de los complejos o si son una clase separada con una incrustación canónica en los números complejos. Estas cuestiones no afectarán a la idea general que intento explicar). Así que los matemáticos no suelen decir que los reales son cortes Dedekind (o cualquier otro tipo de conjuntos), a menos que estén impartiendo un curso de fundamentos y, por tanto, se sientan obligados (¿por fuerzas externas?) a decir tales cosas.

Pregunta: ¿Contiene esta teoría T el axioma de regularidad? Si la respuesta es afirmativa, entonces se deduce que no hay ningún conjunto $A$ con $A\in A$ por ejemplo. Pero no se deduce que no exista una función $f$ con $f\colon \{f\}\to\{f\}$ ya que no hay axiomas que intenten reducir un tipo a otro. Entonces, ¿hay que añadir una versión del "axioma de regularidad" para cada tipo? ¿Qué se obtendría si sólo se tuviera el axioma de regularidad para los conjuntos, pero no para las funciones, los tupeles, etc.? ¿A qué ramas de las matemáticas afectaría esta cuestión? ¿Cuándo importa para qué tipos se dispone del axioma de regularidad?

¿Los teóricos de conjuntos también trabajan en esta teoría T, o utilizan una teoría de conjuntos pura, es decir, una teoría en la que todos los objetos son conjuntos?

Answer 1

No se necesita el axioma de regularidad, ya que normalmente no se puede ni diga $A \in A$ en esta teoría.

Por ejemplo, supongamos que $A$ es una variable de tipo $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ y $r$ es una variable de tipo $\mathbb{R}$ .

Existe, por ejemplo, una relación denominada $\in$ en el tipo $\mathbb{R} \times \mathcal{P}(\mathbb{R})$ y podríamos plantear la proposición $r \in A$ .

Sin embargo, esta teoría generalmente no incluyen una relación denominada $\in$ en el tipo $\mathcal{P}(\mathbb{R}) \times \mathcal{P}(\mathbb{R})$ - por lo que la teoría no ofrece ninguna forma de formular la proposición $A \in A$ .