¿Un grupo de orden $400$ siempre tienen un subgrupo de orden $200$ ?

Question

¿Un grupo de orden $400$ siempre tienen un subgrupo de orden $200$ ?

Estaba considerando algunas aplicaciones simples de los teoremas de Sylow. He hecho algunas preguntas. Entre ellas, había una que pedía demostrar que un grupo de orden 200 siempre tiene un subgrupo de orden 100. Esta pregunta tiene una solución sencilla ya que el grupo de Sylow de orden $25$ es única y, por tanto, normal. Después de esto, sentí curiosidad por la existencia de subgrupos normales de orden $2^k p^l$ de grupos de orden $2^{k+1} p^l$ .

Los siguientes dos párrafos son sobre mi intento fallido que puede no ser útil.

Para un grupo de orden $400$ , digamos que $G$ , dejemos que $n_5$ sea el número del grupo Sylow de orden $25$ . Si $n_5 =1$ hemos terminado. Así que supongamos que $n_5 = 16$ . Dejemos que $A$ y $B$ sean dos subgrupos de Sylow de orden $25$ . Analizar el número de elementos del conjunto $AB$ se puede concluir que el orden de $A \cap B$ para ser $5$ . Esto obligó a $A \cap B$ para ser un subgrupo normal en $A$ y $B$ . Me consideraron el normalizador $N(A \cap B)$ . Porque esto debe contener $A$ y $B$ El orden de $N(A \cap B)$ debe ser $200$ o $400$ . Si fuera $200$ hemos terminado. Supongamos entonces que para cada par de grupos Sylow diferentes de orden $25$ $A$ y $B$ , $A \cap B$ es normal. Si se producen dos intersecciones diferentes de orden $5$ hemos terminado ya que el producto de dos subgrupos normales de orden $5$ proporcionará un subgrupo normal de orden $25$ .

El punto en el que estaba atascado está ahí. Concretamente, si existe un contraejemplo, debería tener $16$ Subgrupos Sylow u orden $25$ cuya intersección es de orden $5$ .

Las siguientes son sólo algunas consideraciones para la generalización que pueden "ni siquiera ser erróneas"

En general, tengo curiosidad por el estado de $n$ que obliga a que exista un subgrupo de orden $n$ de un grupo de orden $2n$ . Tened en cuenta que, como todos sabéis, hay algunos grupos de orden par sin tener subgrupos de índice $2$ . Todos los grupos simples de orden par tienen esta propiedad ya que un subgrupo de índice $2$ es automáticamente normal. De todos modos, permítanme exponer la cuestión general.

Encuentre un criterio simple para un número entero positivo $n$ tener la propiedad de que todo grupo de orden $2n$ tiene un subgrupo de índice $2$ .

Por último, gracias por su atención.

Answer 1

Hay un grupo $H$ de orden 80 cuyos subgrupos normales tienen órdenes 1,16,80. Tomando $G=\mathbb{Z}_5\times H$ nos da un grupo de orden 400 sin subgrupo normal de índice 2.

Para obtener una versión explícita de $H$ , sólo hay que tomar el grupo de matrices $$ \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\u & \alpha^{-1} \end{pmatrix}\mid u\in GF(16), \alpha\in GF(16)^{*}, o(\alpha)|5 \right\}. $$

Answer 2

Ancientmathematician ha respondido a su primera pregunta. Ha pedido un criterio sencillo para determinar cuándo un grupo de orden par tiene un subgrupo de índice $2$ . Uno de estos criterios es que la mayor potencia de $2$ que divide $|G|$ es $2^1$ como se menciona en los comentarios.

Llame a $n \in \mathbb{N}$ un número supersoluble si todo grupo de orden $n$ es supersoluble . Es un teorema estándar que un grupo (finito) supersoluble tiene subgrupos de cada orden posible. En particular, si $G$ es un grupo supersoluble de orden par, entonces $G$ tiene un subgrupo (necesariamente normal) de índice $2$ .

Un teorema que puede servir de complemento al " $m=\text{odd}$ "es el siguiente. En primer lugar, defina $\psi$ para ser la función multiplicativa definida en potencias primos como $\psi(p^k) = (p^k-1)(p^{k-1}-1)\dots(p-1)$ .

Teorema: Dejemos que $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2} \dots p_r^{a_r}$ sea un número entero positivo, donde $p_1 < p_2 < \dots < p_r$ . Entonces $n$ es un número supersoluble si y sólo si:

1. Para todos $1 \leq i \leq r$ los distintos factores primos de $\gcd(n,\psi(p_i^{a_i}))$ son los mismos mismos que los de $\gcd(n,p_i-1)$ .

2. Si existe $i \neq k$ tal que $p_i \leq a_k$ (es decir, el valor de algún factor primo de $n$ es menor que la multiplicidad de otro), entonces

   (a) No existe un primo $p_j$ tal que $p_i | p_j-1$ y $p_j | p_k-1$ y

   (b) $a_i \leq 2$ y si $a_i = 2$ entonces $p_i^2 | p_k - 1$ .

Aplicando este teorema a $n=20$ da a la vez que $20$ es un número supersoluble, por lo que a fortiori todo grupo de orden $20$ tiene un subgrupo de índice $2$ . Obsérvese aquí que el " $m=\text{odd}$ El criterio "no dice nada sobre $n=20$ . Por otro lado, $n=12$ no es un número supersoluble porque $\gcd(12,\psi(2^2)) =3$ mientras que $\gcd(12,1) =1$ . De hecho, $A_4$ no es supersoluble y resulta que $A_4$ no tiene ningún subgrupo de índice $2$ .

Advertencia: si $n$ no es un número supersoluble, no se deduce que algún grupo de orden $n$ no tiene un subgrupo de algún orden $d \mid n$ (mucho menos específicamente $d=\frac{n}{2}$ ). El comentario de James proporciona un contraejemplo concreto: todo grupo de orden $224=2^5 \cdot 7$ tiene subgrupos de cada orden posible (es decir $224$ es un número lagrangiano), pero hay grupos de orden $224$ que no son supersolubles. No sé si hay algún criterio aritmético útil que garantice que un número $n$ es lagrangiano.

Añadido: Hay otro criterio que se puede utilizar y que subsume el " $m=\text{odd}$ " uno. Recordemos la definición de $\psi$ arriba. Si $G$ es un grupo de orden $n$ y si $\gcd(n,\psi(2^a))=1$ , donde $2^a$ es el más alto $2$ -división de poderes $n$ entonces $G$ es $2$ -nilpotente (véase, por ejemplo, el libro de Isaacs sobre teoría de grupos finitos, Corolario $5.29$ ). Es fácil ver que un $2$ -nilpotente siempre tendrá un subgrupo de índice $2$ .

Answer 3

Permítanme también añadir una caracterización para que un grupo tenga (o no tenga) un subgrupo de índice $2$ . Se puede mostrar lo siguiente:

Un grupo $G$ no tiene índice $2$ subgrupo si $G$ se genera por cuadrados, es decir $G = \langle \lbrace g^2 \mid g \in G\rbrace \rangle $ .

El grupo $\langle \lbrace g^2 \mid g \in G\rbrace \rangle \subset G$ es en realidad siempre un subgrupo normal, pero se puede obtener alguna información adicional si tiene índice $2$ en $G$ :

Un grupo $G$ tiene exactamente un subgrupo de índice $2$ si $\langle \lbrace g^2 \mid g \in G\rbrace \rangle $ tiene índice $2$ en $G$ .