Posible explicación de por qué las raíces de $f(x)$ y $g(x)$ son muy similares

Question

Hice una pequeña observación, y estoy buscando una posible explicación.

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Supongamos que tenemos $f(x)$ y definimos $g(x)$ como: $$g(x):=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$$ ¿Por qué las raíces de $g'(x)$ y $f(x)$ casi ¿Idéntico?

Casi porque aunque algunas son numéricamente equivalentes, todas las raíces no son iguales.

Considere $f(x):=x^2+3 x-1$ entonces $g'(x)$ es $\frac{2 \left(x^2+3 x-1\right)}{(2 x+3)^2}$ , las raíces de ambas funciones son: $$\left\{x\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{13}-3\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{13}-3\right)\right\}$$ Considere $f(x):=x^5-2 x^4+2 x^3-2 x^2-x+\frac{1}{2}$ entonces las verdaderas raíces son: $$\{x\to -0.52325\},\{x\to 0.33225\},\{x\to 1.66996\}$$ Las raíces de $g'(x)$ son: $$\{x\to 0.756324\},\{x\to -0.52325\},\{x\to 0.33225\},\{x\to 1.66996\}$$

Answer 1

Usted tiene $g' = \frac{f f''}{f'^2}$ Por lo tanto $g'(x_0) = 0$ si:

• $f(x_0) = 0 \ne f'(x_0)$ o
• $f''(x_0) = 0 \ne f'(x_0)$ .

En su primer ejemplo, $f''(x) = 2$ no tiene ceros, y todos los ceros de $f$ son simples, por lo tanto $g'$ y $f$ tienen los mismos ceros.

En su segundo ejemplo el cero $x \approx 0.756324$ de $g'$ es un cero de $f''$ .

Observación: $g$ no está definida en los puntos donde $f'(x)=0$ . Si $f$ es analítico (es decir, igual a su serie de Taylor) entonces se puede demostrar que $g'$ se aproxima al infinito o a un límite finito no nulo en los puntos donde $f'(x_0) = 0$ .

Answer 2

Lo que tienes ahí es el método Newton-Raphson para aproximar una solución a una ecuación, a saber $f(x)=0$ . Como $a$ se acerca a la raíz, $g(a)-g(a-k), k<<a$ también se hace más pequeña, es decir, la aproximación, aunque se hace más precisa, lo hace a un ritmo más lento a medida que se acerca a la raíz. En $g(r)$ , donde $r$ es una raíz de $f(x)=0$ , $g(r)-g(r-k)$ se convierte prácticamente en cero, y esto es esencialmente decir $g'(x)=0$ . Esto se puede ver en este gráfico Obsérvese especialmente cómo el $g(x)$ La curva se aplana a medida que se acerca a la raíz para $f(x)=0$ .