Sobre el teorema de representabilidad de Brown

Question

El teorema clásico de representabilidad de Brown es para funtores valorados por conjuntos. ¿Existe una versión para funtores valorados por grupos abelianos y funtores valorados por anillos?

En otras palabras, digamos que tenemos un functor F valorado por un grupo abeliano sobre la categoría de espacios CW superiores, que satisface la condición necesaria de que F mapea colímites a límites. ¿Qué condiciones extra sobre F necesitamos para asegurar que el objeto clasificador es un espacio H? En realidad, Brown no lo dice, pero a primera vista su artículo parece demostrar que F sólo tiene que satisfacer la escisión, es decir, que tenemos secuencias exactas $$0 \to F (V \cap W) \to F(V) \oplus F (W) \to F (V \cup W) \to 0,$$ para V,W conjuntos abiertos en X. ¿Es esto correcto? ¿Qué pasa con el caso de los funtores con valor de anillo, cuando son representables por (E_\infty? sea lo que sea)-espacio de anillo.

Answer 1

Para el caso de los grupos, se trata de un ejercicio del capítulo 9 de "Algebraic Topology: Homotopy and Homology" de Switzer (al final de la página 157).

Creo que la idea aproximada es la siguiente. Suponga que su functor $F$ en complejos CW puntuales es representable como $F(-)=[-,Y\;]$ y toma valores en la categoría de grupos. Se desea demostrar que $Y$ es un grupo hasta la homotopía. Para obtener una multiplicación en $Y$ utilizar la parte de naturalidad del teorema de Brown (Teorema 9.13 en Switzer). El functor $F\times F$ está representado por $Y\times Y$ y la multiplicación del grupo es una transformación natural $F\times F\to F$ que, por lo tanto, se representa mediante un mapa $m\colon\thinspace Y\times Y\to Y$ único hasta la homotopía.

Ahora comprueba que los axiomas de grupo para $F(-)$ producen las propiedades deseadas de $m$ (asociativo, unital, con inversos hasta la homotopía).