Dejemos que $X$ ser un $T_2$ espacio, $Y$ a $T_1$ espacio, $f:X\to Y$ una función continua y $\left\{K_n\right\}_{n\in\mathbb N}$ una disminución (en el sentido de $\supseteq$ ) familia de conjuntos compactos en $X$ .
Demostrar que $f\left(\bigcap_{n\in\mathbb N} K_n\right)=\bigcap_{n\in\mathbb N} f\left(K_n\right)$ .
El $\subseteq$ La parte de la prueba es fácil, ya que es válida para cualquier conjunto $K_n$ y la función $f$ . Creo que he conseguido demostrar la $\supseteq$ parte también, pero no estoy seguro de que sea una prueba válida, así que pensé en comprobarlo.
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$\Delta:$ Dejemos que $y$ sea un elemento arbitrario de $Y$ . Desde $Y$ es $T_1$ , $\{y\}$ está cerrado en $Y$ es decir, $y\in {\mathcal F}_Y$ y así, $f^{-1}\left(\{y\}\right)\in {\mathcal F}_X$ ya que $f$ es continua.
Ahora supongamos que la igualdad no se mantiene, es decir, $(\exists y\in \bigcap_{n\in\mathbb N} f(K_n))\ f^{-1}(\{y\})\ \cap\ \left(\bigcap_{n\in\mathbb N} K_n\right) = \emptyset$ . Desde $X$ es $T_2$ , $(\forall n\in \mathbb N)\ K_n\in \mathcal F_X$ . Así, porque $K_n$ es una familia decreciente, $\mathcal C=\{K_n \cap f^{-1}(\{y\})\ |\ n\in\mathbb N\}$ es una familia de conjuntos cerrados en $K_1 \cap f^{-1}(\{y\})$ con FIP, pero $\bigcap\mathcal C=\emptyset$ . Esto significa que $K_1 \cap f^{-1}(\{y\})$ no es compacto, lo cual es una contradicción, ya que es un subespacio cerrado del espacio compacto $K_1$ . Por lo tanto, debe ser que $(\forall y\in \bigcap_{n\in\mathbb N} f(K_n))\ f^{-1}(\{y\})\ \cap\ \left(\bigcap_{n\in\mathbb N} K_n\right) \neq \emptyset$ es decir, que $f\left(\bigcap_{n\in\mathbb N} K_n\right) \supseteq \bigcap_{n\in\mathbb N} f\left(K_n\right)$ . $\square$
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¿Esta prueba es correcta, o me he perdido algún detalle? Puedo aportar cualquier aclaración que sea necesaria.
