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La mejor introducción al basic twistor teoría, que yo sepa, es el libro por Huggett y Tod
Si usted no tiene acceso a ese libro y algunas otras respuestas no salen a la superficie en el mientras tanto estoy feliz de escribir un par de trozos y piezas aquí, pero tendrá que esperar hasta el fin de semana. (Yo puede ser parcial, pero creo que es bien vale la pena aprender, como el MHV amplitud de aplicaciones son muy interesantes).
Edit: Aquí hay un par de párrafos para dar una idea de twistor teoría:
Twistor teoría hace un uso extensivo de Weyl spinors, que forman representaciones de $SL(2;\mathbb{C})$ - el doble de la cubierta de la (restringido) de Lorentz grupo. Estos vienen en dos variedades – imprimado spinors $\omega_A$ transformándose de acuerdo a los fundamentales de la representación, y preparado spinors $\omega_{A'}$ transformándose de acuerdo a la conjugada de la representación. (Nota: en gran parte de la literatura moderna, preparadas y sin imprimación se denota por punteada $\lambda_{\dot{a}}$ y undotted).
Spinor índices se levantó y bajó el uso de la antisimétrica spinor
$$\epsilon_{AB}=\epsilon_{A'B'}=\epsilon^{AB}= \epsilon^{A'B'} = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)$$
Minkowski-vectores en el espacio $x^a$ se puede poner en correspondencia con los dos-índice imprimado/imprimado spinors por escrito
$$x^{AA'} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} x^0+x^1 & x^2+ix^3 \\ x^2-ix^3 & x^0-x^1 \end{array} \right)$$
Ahora bien, si tomamos una imprimación/imprimado spinor par $(\omega^A, \pi_{A'})$, entonces el conjunto de Minkowski vectores que satisfacen
$$\omega^A=ix^{AA'}\pi_{A'} \ \ \ (1)$$
es una línea nula en el espacio de Minkowski siempre imponemos la condición de la realidad
$$\omega^A{\bar{\pi}}_{A}+{\bar{\omega}}^{A'}\pi_{A'}=0$$
El par de spinors se conoce como un twistor $Z^{\alpha} = (\omega^A, \pi_{A'})$. El espacio de esos cuatro componentes de los objetos es "twistor espacio" $\mathbb{T}$, sobre el cual se define un Hermitian formulario a través de la conjugación de la operación
$${\bar{Z}}_0 = \bar{Z^2} = {\bar{\pi}}_0$$
$${\bar{Z}}_1 = \bar{Z^3} = {\bar{\pi}}_1$$
$${\bar{Z}}_2 = \bar{Z^0} = {\bar{\omega}}^{0'}$$
$${\bar{Z}}_3 = \bar{Z^1} = {\bar{\omega}}^{1'}$$
La condición de la realidad de arriba es entonces que se puede expresar como $Z^{\alpha}{\bar{Z}}_{\alpha}=0$ y twistors que cumplan esta condición se llama null twistors.
El lugar geométrico de los puntos en el espacio de Minkowski satisfactorio (1) no se modifica si multiplicamos la twistor $Z^{\alpha}{\bar{Z}}_{\alpha}=0$ por cualquier número complejo distinto de cero. De hecho, resulta extremadamente útil para imponer esta como una relación de equivalencia en $\mathbb{T}$ y a trabajar con su proyectiva versión $P\mathbb{T}$.
Proyectiva null twistors, a continuación, corresponden a los rayos de luz en el espacio de Minkowski. La correspondencia entre (proyectiva) twistor el espacio y el espacio de Minkowski es más completa si atribuimos al espacio de Minkowski su conformación límite (cono de luz en el infinito) y, si lo complejizan. Entonces estamos tratando con complexified, compactified espacio de Minkowski $\mathbb{C}M$ y twistors (vamos siempre significa proyectiva twistors) corresponden totalmente nula de dos planos (llamados alfa planos) en $\mathbb{C}M$. El alfa planos correspondientes a null twistors (objetos de vivir en un subespacio de $P\mathbb{T}$ llama $PN$) se cruzará con el real rebanada de $\mathbb{C}M$ nulos en los rayos.
Por el contrario, un punto x en el verdadero espacio de Minkowski define un conjunto de null rayos, que son los que la definición de la nula cono en ese punto. Hay dos esfera del valor de tales rayos de la esfera celeste), y el conjunto de twistors la definición de estos rayos define un subconjunto de a $PN$ tener la topología de una esfera, pero lo más importante es tener la estructura compleja de un $\mathbb{C}P^1$, y se conoce como una línea proyectiva (o simplemente "la línea"). La figura 1 muestra un punto x en el espacio de Minkowski y la correspondiente línea de $L_x$$PN$, y también un par de twistors $Z$ $W$ $L_x$ y el nulo rayos $\gamma_Z$ $\gamma_W$ corresponden.
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Ahora empieza la diversión cuando se consideran funciones en twistor espacio. Supongamos que consideramos una función homogénea de grado cero (es decir,$f(\lambda Z^{\alpha}) = f(Z^{\alpha}); \lambda \in \mathbb{C}^*$). A continuación definimos el campo en el espacio-tiempo:
$$\phi_{AB}(x) = \oint{\rho_x(\frac{\partial}{\partial \omega^A} \frac{\partial}{\partial \omega^B}f(\omega^A, \pi_{A'}))\pi_{C'}d\pi^{C'}}$$
donde $\rho_x$ significa "imponer la restricción (1)". Para obtener un no trivial de campo, la función f debe tener singularidades en twistor el espacio, yo.e no debía de ser holomorphic en todas partes. Por ejemplo, se puede tener polos. El contorno se utiliza es en la línea proyectiva $L_x$ y evita las singularidades de f.
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El campo definido de esta manera satisface
$$\nabla^{AA'} \phi_{AB} = 0 \ \ \ (2)$$
Donde $$\nabla_{AA'} = \frac{\partial}{\partial x^{AA'}}$$
Podemos descomponer un antisimétrica tensor de campo electromagnético en su lucha contra la auto-dual y la auto-dual partes, respectivamente, como
$$ F_{ab} = F_{AA'BB'} = \phi_{AB}\epsilon_{A'B'} +{\tilde{\phi}}_{A'B'}\epsilon_{AB}$$
Entonces (2) representa la (fuente libre) ecuaciones de Maxwell (para la lucha contra el auto de doble campos de Maxwell). La correspondencia entre twistor funciones y anti-auto-dual soluciones de las ecuaciones de Maxwell no es única. Sin embargo, el tratamiento de la twistor funciones como representantes de ciertos gavilla cohomology clases no dar una única correspondencia.
La elección de twistor funciones con otras homogeneities da lugar a otros tipos de campo (simétrica spinors con otros números de la cebada o sin imprimación índices de satisfacción de ecuaciones similares a (2)). Por ejemplo, las ecuaciones para la auto dual Maxwell campos
$$\nabla^{AA'} \phi_{A'B'} = 0$$
están dadas por una (ligeramente diferentes) contorno integral que involucra twistor funciones de homogeneidad -4:
$$\phi_{A'B'}(x) = \oint{\rho_x(\pi_{A'}\pi_{B'}f(\omega^D, \pi_{D'}))\pi_{C'}d\pi^{C'}}$$
Otras formas de uso de la twistor la correspondencia que existe, por ejemplo, una correspondencia puede ser configurado para campos en un espacio real con Euclidiana de la firma. Este programa llevó a la construcción de la auto dual soluciones de Yang Mills ecuaciones en $S^4$ (el compactification de $\mathbb{R}^4$). En este caso, la correspondencia entre el auto de doble Yang Mills campos en $S^4$ y holomorphic bultos en twistor el espacio que son (holomorphically) trivial en proyectivos líneas en twistor espacio (y que tienen diferentes a los de otras condiciones, dependiendo de la estructura del grupo de Yang Mills teoría que estás interesado).
Ambos twistor el espacio y el espacio de Minkowski puede ser "engrosado" mediante la adición de Grassmannian coordenadas y de esta manera supersimétricas versiones de la twistor correspondencias del tipo que se ilustra arriba. Esto ha sido utilizado en el tratamiento de Supersimétricas Yang Mills teoría.
