Quiero encontrar la función de Green (kernel) del siguiente problema {(a(x)u′)′=f, in (−1,1)u(1)=u(−1)=0 donde, a(x)∈L∞(−1,1) y f∈L∞(−1,1) . Tomo la parte homogénea con f=0 y desarrollar el problema como, estableciendo g(x,s) sea la función de Green, g″ Resolviendo este problema, obtengo g'(x, s)=\dfrac{c_1}{a(x)} y en consecuencia g(x, s)=\int \dfrac{c_1}{a(x)}\,dx +c_2. ¿Es esto correcto? y si esto es correcto obtengo c_1=c_2=0 .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?No es de extrañar que se consiga 0 al resolver una EDO homogénea con condiciones de contorno homogéneas.
Función de Green g(x,s) para un operador diferencial L satisface la ecuación Lg(x,s) = \delta_s , donde \delta_s es el delta de Dirac en x=s . Con el fin de (au')' para ser \delta_s , necesitas au' para tener una discontinuidad de salto de tamaño 1 en x=s . Esto significa que u' debe tener una discontinuidad de salto de tamaño 1/a(s) . Así, en lugar de g'(x, s)=\dfrac{c_1}{a(x)} necesitas g'(x, s)=\dfrac{c_1 + H(x-s)}{a(x)} donde H es la función de Heaviside. Esto da g(x, s)=\int_{-1}^x \dfrac{c_1 + H(t-s)}{a(t)}\,dt donde la constante c_1 se determina a partir de la condición g(1,s)=0 Es decir, que.., c_1\int_{-1}^1 \frac{1}{a(t)}\,dt + \int_s^1 \frac{1}{a(t)}\,dt = 0