Quiero encontrar la función de Green (kernel) del siguiente problema \begin{equation} \begin{cases} (a(x)u')'=f, \text{ in } (-1, 1)\\[4pt] u(1)=u(-1)=0 \end{cases} \end{equation} donde, $a(x)\in L^{\infty}(-1, 1)$ y $f\in L^{\infty}(-1, 1)$ . Tomo la parte homogénea con $f=0$ y desarrollar el problema como, estableciendo $g(x, s)$ sea la función de Green, \begin{equation} g''(x, s)+\dfrac{a'(x)}{a(x)}g'(x, s)=0, \end{equation} Resolviendo este problema, obtengo $$ g'(x, s)=\dfrac{c_1}{a(x)} $$ y en consecuencia $$ g(x, s)=\int \dfrac{c_1}{a(x)}\,dx +c_2. $$ ¿Es esto correcto? y si esto es correcto obtengo $c_1=c_2=0$ .
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No es de extrañar que se consiga $0$ al resolver una EDO homogénea con condiciones de contorno homogéneas.
Función de Green $g(x,s)$ para un operador diferencial $L$ satisface la ecuación $Lg(x,s) = \delta_s$ , donde $\delta_s$ es el delta de Dirac en $x=s$ . Con el fin de $(au')'$ para ser $\delta_s$ , necesitas $au'$ para tener una discontinuidad de salto de tamaño $1$ en $x=s$ . Esto significa que $u'$ debe tener una discontinuidad de salto de tamaño $1/a(s)$ . Así, en lugar de $$g'(x, s)=\dfrac{c_1}{a(x)} $$ necesitas $$g'(x, s)=\dfrac{c_1 + H(x-s)}{a(x)}$$ donde $H$ es la función de Heaviside. Esto da $$g(x, s)=\int_{-1}^x \dfrac{c_1 + H(t-s)}{a(t)}\,dt$$ donde la constante $c_1$ se determina a partir de la condición $g(1,s)=0$ Es decir, que.., $$c_1\int_{-1}^1 \frac{1}{a(t)}\,dt + \int_s^1 \frac{1}{a(t)}\,dt = 0$$
