Suavidad de la distancia en un extremo de un colector

Question

Supongamos que $(X,g)$ es una variedad riemanniana. Sea $p\in X$ sea un punto. La distancia con respecto a g \begin{align*} & \text{dist}_g(p,-):X\to [0,\infty)\\ & \text{dist}_g(p,q) = \text{inf}\{\text{length}_g(\gamma) \,|\,\gamma:[0,1]\to X, \gamma(0) = p,\gamma(1)=q,\gamma \text{ piecewise smooth}\}\,. \end{align*} es una función continua, pero en general no es suave. Sin embargo, supongamos que $X$ no es compacto. Para simplificar, supongamos que tiene un solo extremo. ¿Se puede elegir un compacto $K$ , s.t. $p\in K\subset X$ y $\text{dist}_g(p,-)|_{X\backslash K}$ ¿es suave?

Mi pensamiento era que si podía asumir que $(X,g)$ es ALE y $K$ es el conjunto tal que $X\backslash K$ tiene un gráfico ALE, debería ser cierto. Pero esto parece bastante restrictivo.

Answer 1

Toda superficie hiperbólica completa y conectada $S$ es isométrico al cociente del plano hiperbólico ${\mathbb H}^2$ por un subgrupo discreto $\Gamma$ de isometrías de ${\mathbb H}^2$ actuando libremente en ${\mathbb H}^2$ . Dado un punto $z\in {\mathbb H}^2$ y $\Gamma$ como en el caso anterior, se define el Dominio de Dirichlet $D=D_{\Gamma,z}$ por $$ \{w\in D: d(w,z)\le d(w,\gamma z) \forall \gamma\in \Gamma\}. $$ Este dominio es convexo (como intersección de semiplanos) y es poligonal. Topológicamente, se obtiene $S$ identificando los bordes de los límites de $D$ a través de algunos elementos de $\Gamma$ . Así, $D$ es no compacto si y sólo si $S$ es.

Ahora, para relacionar $D$ y el lugar de no suavidad de la función de distancia en $S$ , dejemos que dejar que $\pi: {\mathbb H}^2\to S$ sea el mapa de cobertura (el cociente a través del $\Gamma$ -acción). Sea $p:=\pi(z)$ . Entonces (si se mira la definición del límite de $D$ ), $\pi(\partial D)$ es exactamente el lugar de no suavidad de la función $d^2(p, \cdot)$ en $S$ (Prefiero cuadrar para evitar la falta de suavidad en $p$ en caso contrario, es el mismo que el lugar de no suavidad de la función de distancia $d(p, \cdot)$ ): Un punto $q$ pertenece a $\pi(\partial D)$ precisamente cuando hay más de una geodésica minimizadora (de velocidad unitaria) desde $p$ a $q$ . El bucle formado por estas geodésicas distintas corresponde a un elemento $\gamma\in \Gamma$ tal que una preimagen de $q$ en ${\mathbb H}^2$ se encuentra en la bisectriz del par $p, \gamma(p)$ .

Queda por observar que $\pi(\partial D)$ no es compacto (o sea, no tiene límites en $S$ ) si y sólo si $D$ es no compacto. Ahora, ya que quieres un ejemplo de 1 extremo, simplemente toma una superficie hiperbólica con una cúspide o una superficie hiperbólica de 1 extremo de género infinito...