¿Es todo subconjunto abierto afín de un esquema localmente noetheriano también noetheriano?

Question

Ravi Vakil definición 5.3.4.

Supongamos que $X$ es un esquema. Si $X$ puede ser cubierto por conjuntos abiertos afines Spec( $A$ ) donde $A$ es noetheriano, decimos que $X$ es un esquema localmente noetheriano .

La definición sólo dice " Si $X$ puede ser cubierto por conjuntos abiertos afines Spec( $A$ ) donde $A$ es noetheriano ". Me pregunto si esto puede implicar que todo conjunto abierto afín es noetheriano.

Answer 1

Sí, porque un esquema afín es cuasicompacto. Entonces, si $U\subseteq X$ es un subesquema abierto afín, entonces $U$ está cubierto por finamente muchos espectros de anillos noetherianos y por eso es noetheriano.