Si $\alpha \geqslant 1$ la secuencia $(m_{n})_{n \geqslant 1}$ definido por $$m_{n}=\sup _{x\in[0 ; 1]}|U_{n}(x)|=\left|u_{n}\left(\frac{n}{n+1}\right)\right|=\frac{n \alpha}{n+1} \cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}$$ diverge: $(u_{n})_{n\geqslant 1}$ no converge uniformemente en $[0,1]$ . Así, $\sum_{n \geqslant 1} u_{n}$ tiene una convergencia no uniforme en $[0,1]$ para $\alpha \geqslant 1$ . Si $\alpha<0$ , $\sum_{n \geq 1} u_{n}$ normalmente converge en $[0,1]$ . Así, $\sum_{n \geqslant 1} u_{n}$ converge uniformemente en $[0,1]$ .
Dejemos que $0 \leqslant \alpha<1$ . Introducimos la secuencia $(R_{n})_{n\geqslant 1}$ definido por \begin{align*} R_{n}:[0, 1] & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \longmapsto R_{n}(x)=\sum_{k=n+1}^{+\infty} k^{\alpha} \cdot x^{k} \cdot(1-x) \end{align*}
Para todos $n \in \mathbb{N}^{*}$ , \begin{align*} k \geqslant n+1 & \Rightarrow k^{\alpha} \geqslant(n+1)^{\alpha}\\ & \Rightarrow k^{\alpha} \cdot x^{k} \cdot(1-x) \geqslant(n+1)^{\alpha} \cdot x^{k}(1-x)\\ & \Rightarrow R_{n}(x) \geqslant \sum_{k=n+1}^{+\infty}(n+1)^{\alpha} \cdot x^{k}(1-x). \end{align*} Como $\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}(n+1)^{\alpha} \cdot x^{k} \cdot(1-x)=(n+1)^{\alpha} \cdot x^{n+1}$ , entonces para todos los $0<a<1$ , \begin{align*} x \geqslant a & \Rightarrow R_{n}(x) \geqslant(n+1)^{\alpha} \cdot a^{n+1}\\ & \Rightarrow R_{n}(x) \geqslant a^{n+1}>0, \end{align*} deducimos de esta desigualdad que $\sum_{n \geqslant 1} u_{n}$ no converge uniformemente en $[a,1]$ .
Ahora para $x\in[0,a)$ No veo realmente cómo resolver el problema. ¿Es realmente necesario estudiar este caso o podríamos simplemente intentar ver lo que ocurre cuando $x=0$ ?
