Ejercicio sobre el límite.

Question

Que sea $g(t)=t\ln t$ , $t>0$ . Cómo demostrar que $\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty} \frac{g^{-1}(t)}{t} = 0$ ?

Estoy tratando de hacer usando la regla de L'Hospital, pero no puedo justificar que $\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty}g^{-1}(t)=\infty$ .

Answer 1

La función $g$ no es globalmente invertible, pero es estrictamente creciente, y por tanto invertible, en el intervalo $(e^{-1},\infty)$ y $g^{-1}$ debe referirse a este intervalo.

Desde $\lim_{t\to\infty}g(t)=\infty$ También $\lim_{t\to\infty}g^{-1}(t)=\infty$ por las propiedades de las funciones invertibles. Dado que $g$ es continua (realmente diferenciable), también $g^{-1}$ es continua (en realidad diferenciable, porque $g'$ es positivo en todas partes en $(e^{-1},\infty)$ ).

Ahora puedes hacer la sustitución $u=g^{-1}(t)$ Así que $$ \lim_{t\to\infty}\frac{g^{-1}(t)}{t}= \lim_{u\to\infty}\frac{u}{g(u)}=\lim_{u\to\infty}\frac{1}{\ln u}=0 $$

Answer 2

Nota 1: Si $f : I \to f(I)$ es estrictamente creciente en el intervalo $I \subset \mathbb{R}$ entonces también lo es su inversa $f^{-1} : f(I) \to I$ .

Prueba: Supongamos que $s < t$ con $f^{-1}(s) = x \in I$ y $f^{-1}(t) = y \in I$ . Entonces $f(x) < f(y)$ por supuesto, y puesto que $f$ es estrictamente creciente en $I$ Esto implica $x < y$ . Por lo tanto, $s < t \implies f(s) < f(t)$ .

Nota 2: Si $f : I \to f(I)$ es invertible en $I$ entonces $$ \sup_{s \in f(I)}f^{-1}(s) = \sup(I) $$

Prueba: Esto es inmediato ya que $f^{-1}(f(I)) = I$ .

Desde aquí: Uniendo estas piezas se llega a la conclusión de que $g^{-1}(t) \to \infty$ como $t \to \infty$ en su caso.

Answer 3

Para mostrar $g^{-1}(t)$ va al infinito, hay que argumentar que si $y = t \ln t$ y $y$ se hace grande, entonces también lo hace $t$ . Elige un gran $N$ . Si $y=N^2$ entonces $N \ln N < N^2 = y$ Así que $t> N$ .

Entonces para el límite, el teorema de la función inversa te da $(g^{-1})^\prime(t) = 1/(1+\ln t).$ La derivada del fondo es 1, por lo que está claro que el límite es $0$ .

Answer 4

Usted obtiene $g^{-1}(t) = \frac{t}{W(t)}$ donde $W$ es la función W-Lambert. Por lo tanto, $$\lim_{t \to \infty} \frac{g^{-1}(t)}{t} = \lim_{t \to \infty}\frac{1}{W(t)} = 0,$$ porque $W(t) \to \infty$ para $x \to \infty$ .

Answer 5

Sin L'Hôpital:

Obviamente $g^{-1}$ es siempre positivo, por lo que la condición de límite significa que, para cualquier $\varepsilon>0,$ $g^{-1}(t)<\varepsilon t$ si $t$ es lo suficientemente grande. Así que supongamos que existe $\varepsilon>0$ s.t. $$g^{-1}(t)>\varepsilon t$$ para un número infinito de $t$ . Entonces podemos considerar $t>\frac1{\varepsilon e}$ y como $g$ está aumentando en $(e^{-1},\infty)$ para un número infinito de tales $t$ tenemos $$g(g^{-1}(t))=t>\varepsilon t\log(\varepsilon t)=g(\varepsilon t),$$ es decir $$\log t<\frac1\varepsilon-\log\varepsilon,$$ una contradicción.