$\sin2(x) - \tan(x) = 0$ , resuelve para $-180\le x\le 180$

Question

No he podido resolver la siguiente pregunta,

Si $$\sin(2x) - \tan(x) = 0$$

Encuentre $x$ , $-\pi\le x\le \pi$

Hasta ahora mis trabajos han sido Utilizar la siguiente identidad:

$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\\2\sin(x)\cos(x) - \tan(x) = 0\\2\sin(x)\cos(x) - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0\\ 2\frac{\sin(x)\cos(x)}{1} - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0$$

A continuación, multiplique en cruz para dar :

$$-\sin x+((2\cos(x)\sin(x))\cos(x))/\cos(x) = 0$$

$$-\sin x+(2\cos^2(x)\sin(x))/ \cos(x) = 0$$

Sin embargo, no he podido llegar más lejos.

Si alguien pudiera ayudarme a encontrar una solución a esta cuestión se lo agradecería mucho.Gracias.

Answer 1

La ecuación que queremos resolver es $$\sin(2x)-\tan(x)$$ Has deducido correctamente que ahora tenemos que resolver $$2\sin(x)\cos(x)-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=0$$ que podemos reescribir como $$2\sin(x)\cos(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$ o $$2\sin(x)\cos(x)^2=\sin(x)$$ Ahora, o bien $\sin(x)=0$ (en cuyo caso $x\in\{-180,0,180\}$ dado que $x\in[-180,180]$ ), o podemos dividir ambos lados por $\sin(x)$ para conseguir $$2\cos(x)^2=1$$ Así que $\cos(x)=\pm\sqrt{\frac12}=\pm\frac12\sqrt{2}$ de la que sabemos que las soluciones son $x\in\{-135,-45,45,135\}$ y, por tanto, la solución final es $$x\in\{-180,-135,-45,0,45,135,180\}$$

Answer 2

Aviso, $$\sin 2x-\tan x=0$$ $$\frac{2\tan x}{1+\tan^2x}-\tan x=0$$ $$\tan x\left(\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2x}\right)=0$$ $$\color{blue}{\tan x\cos 2x=0}$$ Ahora, resolviendo para $x$ ,
$$\tan x=0\iff x=n\cdot 180^\circ$$ donde $n$ es un número entero cualquiera

Para un intervalo dado $[-180^\circ, 180^\circ]$ , ajuste $n=-1, 0, 1 $ , se debe obtener $$\color{blue}{x=-180^\circ, 0, 180^\circ}$$

o $$\cos 2x=0\iff 2x=(2n-1)\cdot 90^\circ\ \ $$$$ o bien \N x=(2n-1)\cdot 45^\c $$ where $ n$ es un número entero cualquiera

Para un intervalo dado $[-180^\circ, 180^\circ]$ , ajuste $n=-1, 0, 1, 2 $ , se debe obtener $$\color{blue}{x=-135^\circ, -45^\circ, 45^\circ, 135^\circ}$$

por lo tanto, la solución completa es $$\color{red}{x\in\{-180^\circ, -135^\circ, -45^\circ, 0, 45^\circ, 135^\circ, 180^\circ\}}$$

Answer 3

Una vez que llegaste a $$2\sin(x)\cos(x) - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0$$ puedes sacar un factor de $\sin (x)$ para conseguir $$\sin(x)\left[2\cos(x)- \frac{1}{\cos(x)}\right]$$ Ahora, o bien $\sin(x) = 0$ o $2\cos(x)- \frac{1}{\cos(x)} = 0$ . Para $\sin(x) = 0$ tenemos $-180$ , $0$ y $180$ . Para $2\cos(x)- \frac{1}{\cos(x)} = 0$ podemos multiplicar por $\cos(x)$ para conseguir $2\cos^2(x)-1 = 0$ . La resolución da $$\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ por lo que x = -45 y 45.