Hallar la densidad de la coordenada X - x de un punto elegido al azar en el círculo unitario

Question

Dada es la circunferencia unitaria en el plano. Elige al azar un punto en él, tal que $P(\left(x,y\right)\in A)$ es proporcional al área de $A$ , donde $A$ es un conjunto medible en el plano. Encontrar la función de densidad de la variable aleatoria $X$ que representa el $x$ coordenadas de este punto.

Mi idea era encontrar $P(X\leq x)$ y luego diferenciar, pero estoy luchando con la determinación del área de un subconjunto de un círculo donde todas las coordenadas x son menores o iguales a las dadas $x$ mientras que $x$ varía en $\left[-1,1\right]$ . Se adjunta la cifra para el fijo $x$ .

Answer 1

Es más fácil encontrar la densidad marginal directamente. Para cada $-1<x<1$ , tenemos $$f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,dy= \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}{1\over \pi}\,dy= {2\sqrt{1-x^2}\over \pi},$$ es decir, $f_X(x)$ es la longitud del corte en $x$ dividido por el área del círculo.

Answer 2

Yo diría, si no integras, que a la superficie del círculo unitario le restes el área de un segmento de círculo un radio de 1 y un ángulo $\alpha$ :

$A=\pi-\left(\frac{1^2}{2}\cdot 2\alpha-x\cdot y\right)=\pi-\arccos x+x\sqrt{1-x^2}$

$\displaystyle \Rightarrow P(X\le x)=\frac{1}{\pi}(\pi-\arccos x+x\sqrt{1-x^2})$