Encuentre el valor máximo de $I\left(f\right) - J\left(f\right)$ sobre todas esas funciones $f$

Question

Para cada función continua $f: [0,1] \rightarrow R,$ dejar $I\left(f\right) = \int_0^1 x^2 f\left(x\right)\: \textrm{d}x.$ y $J\left(f\right) = \int_0^1 x \left(f\left(x\right)\right)^2 \: \textrm{d}x.$ Encontrar el valor máximo $I\left(f\right) - J\left(f\right)$ sobre todas las funciones f.

Así que el problema es:

Paso 1. ¿Para qué valores de $x$ hace $$\frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y} \left[ \int_0^1 x^2f\left(x\right)\: \textrm{d}x - \int_0^1 xf\left(x\right)^2\:\textrm{d}x\right] = 0 $$

Paso 2. ¿Para qué valores de $x$ es esta negativa $$\frac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2} \left[ \int_0^1 x^2f\left(x\right)\: \textrm{d}x - \int_0^1 xf\left(x\right)^2\:\textrm{d}x\right] = 0 $$

No estoy seguro de cómo hacerlo exactamente.

Página 281 Problema nº 80 de Cálculo 9 $^{th}$ edición de Larson No, no es una tarea, es demasiado difícil para la clase, pero me gustan las matemáticas y el último problema es el más divertido y del que más aprendo.

Answer 1

Paso 1. Para el estacionamiento $f$ , $f(0)=0$ . De lo contrario, podemos redefinir $f$ en una vecindad derecha de cero y hacer que la RHS aumente estrictamente.

Paso 2. Suponiendo que $x\in(0,1]$ , toma $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ . Entonces tenemos: $$RHS=\int_{(0,1]}\left(x^2 f-x f^2\right)\,dx = \int_{(0,1]}x^3 g (1-g)\,dx, $$ pero $g(1-g)\leq\frac{1}{4}$ por el Desigualdad AM-GM Así que..: $$ RHS\leq \int_{(0,1]}\frac{x^3}{4}\,dx = \frac{1}{16}, $$ y sólo se alcanza la igualdad cuando $g$ está constantemente $\frac{1}{2}$ o $f(x)=\frac{x}{2}$ .