La identidad del círculo unitario sobre sí mismo no puede extenderse a una función continua del disco unitario sobre el círculo unitario

Question

Dejemos que $C_r$ sea el círculo $x^2+y^2=r^2$ y $D$ el disco de la unidad $x^2+y^2\leq 1$ . Demuestre que la identidad de $C_1$ sobre sí misma no puede extenderse a una función continua de $D$ en $C_1$ . $Hint$ : Tomar coordenadas polares $(r(p),\theta(p))$ para cualquier punto $p\in D$ Así que $r\circ g\equiv 1$ . Dejemos que $(r,\phi)$ sean las coordenadas de los puntos en $D$ con $0\leq\phi<2\pi$ . Demostrar que $\theta(g(r,\phi))$ puede definirse como continua (no necesariamente con valores en [0,2 $\pi$ )) en función de $\phi$ para $r>0$ . Dejemos que $h(r):=\displaystyle\lim_{\phi\rightarrow 2\pi}\theta(g(r,\phi))-\theta(g(r,0))$ . Demostrar que $h$ es continua en función de $r$ debe ser siempre un múltiplo de $2\pi$ pero tiene valores diferentes en $r=0$ y $r=1$ .

Mis esfuerzos:

Utiliza la topología métrica. La métrica es simplemente $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1+y_2)^2}$ . Utilizaremos coordenadas polares. La métrica se puede expresar con coordenadas polares: $d((r_1,\phi_1),(r_2,\phi_2))=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2cos(\phi_1-\phi_2)}$ .

Supongamos que la identidad de $C_1$ sobre sí misma no puede extenderse a una función continua $g$ de $D$ en $C_1$ . Derivaremos una contradicción.

El punto $g(r,\phi)$ está en el círculo unitario y, por tanto, tiene coordenadas polares $r(g(r,\phi))$ y $\theta(g(r,\phi))$ . Por supuesto $r(g(r,\phi))=1$ . Desde $g$ es continua, para cualquier $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $d(g(r_1,\phi_1),g(r_2,\phi_2))=\sqrt{2-2cos(\theta(g(r_1,\phi_1))-\theta(g(r_2,\phi_2)))}<\epsilon$ si $\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2cos(\phi_1-\phi_2)}<\delta$ . Esto también es válido para $r_1=r_2=r>0$ . Así, para cualquier $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $d(g(r,\phi_1),g(r,\phi_2))=\sqrt{2-2cos(\theta(g(r,\phi_1))-\theta(g(r,\phi_2)))}<\epsilon$ si $r\sqrt{2-2cos(\phi_1-\phi_2)}<\delta$ . Sólo requerimos $0\leq\theta(g(r,\phi))<2\pi$ . Entonces, para cualquier $\epsilon^*>0$ existe $\delta^*>0$ , de tal manera que $|\phi_1-\phi_2|<\delta^*\Rightarrow r\sqrt{2-2cos(\phi_1-\phi_2)}<\delta$ $\Rightarrow\sqrt{2-2cos(\theta(g(r,\phi_1))-\theta(g(r,\phi_2)))}<\epsilon\Rightarrow|\theta(g(r,\phi_1))-\theta(g(r,\phi_2))|<\epsilon^*$ . Así, $\theta(g(r,\phi))$ es continua en función de $\phi$ para $r>0$ .

Dejemos que $h(r):=\displaystyle \lim_{\phi\rightarrow 2\pi}\theta(g(r,\phi))-\theta(g(r,0))$ . Desde $g$ es continua, para cualquier $\epsilon^*>0$ existe $\delta>0$ , de tal manera que $|r_1-r_2|=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2cos(0-0)}=\displaystyle\lim_{\phi\rightarrow 2\pi}\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2cos(\phi-\phi)}<\delta$ $\Rightarrow\sqrt{2-2cos(\theta(g(r_1,0))-\theta(g(r_2,0)))}<\epsilon/2$ y $\displaystyle\lim_{\phi\rightarrow 2\pi}\sqrt{2-2cos(\theta(g(r_1,\phi))-\theta(g(r_2,\phi)))}<\epsilon/2$ $\Rightarrow|\theta(g(r_1,0))-\theta(g(r_2,0))|<\epsilon^*/2$ y $\displaystyle\lim_{\phi\rightarrow 2\pi}|\theta(g(r_1,\phi))-\theta(g(r_2,))|<\epsilon^*/2\Rightarrow|h(r_1)-h(r_2)|<\epsilon^*$ . Así, $h$ es continua en función de $r$ .

Cuando $\phi\rightarrow 2\pi$ , $(r,\phi)\rightarrow(r,0)$ para cualquier $r$ . Debido a la continuidad de $g$ , $\displaystyle\lim_{\phi\rightarrow 2\pi}\sqrt{2-2cos(\theta(g(r,\phi))-\theta(g(r,0)))}=\sqrt{2-2cos(h(r))}=0$ . Así, $h$ debe ser siempre un múltiplo de $2\pi$ .

Entonces no sé cómo proceder para $h(1)$ .

Answer 1

Si $Id\colon S^1 \rightarrow S^1$ se extiende a una función continua $F\colon D^2 \rightarrow S^1$ , tenemos la composición $S^1 \xrightarrow{i} D^2 \xrightarrow{F} S^1$ igual a la identidad $Id$ . Esto induce una composición de homomorfismos entre grupos fundamentales, es decir, $\mathbb{Z} \rightarrow 0 \rightarrow \mathbb{Z}$ que debe ser el homomorfismo de identidad porque el grupo fundamental es un functor. Pero esto no puede ocurrir.

Answer 2

Hay un teorema que dice que no puede existir una retracción del disco unitario sobre el círculo unitario.

La prueba implica un argumento de conectividad.

Uno elimina un par de puntos $a,b$ de $S^1$ , dejando dos arcos desconectados. A continuación, se observan las preimágenes de $a$ y $b$ bajo la retracción. Cuando el polvo se aclare, será posible construir una función continua que lleve un conjunto conectado a este conjunto desconectado.

El teorema de la no retracción puede utilizarse para demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer.