Es mi prueba de que $\sum_{n=3}^\infty \log(\frac{n^2+n+1}{n^2})$ ¿diferencia correcta?

Question

Así que estoy en Análisis Real y ahora mismo estamos discutiendo las series. Es muy interesante. Hay un problema en mi tarea para el que quiero asegurarme de que he utilizado la prueba de comparación correctamente. Tened en cuenta que no hemos probado las derivadas, así que no podemos usar la regla de L'Hopital ni ninguna de esas cosas raras. Sólo podemos usar las pruebas de series y la definición rigurosa de límites de secuencias ( $|a_n - L| < \epsilon $ ). Este es el problema:

Decidir si la serie $$\sum_{n=3}^\infty \log \left(\frac{n^2+n+1}{n^2}\right)$$ converge o diverge. Si converge, encuentra su valor.

Este es mi trabajo: tomar $a_n = \log \left(\frac{n^2+n+1}{n^2}\right)$ y $b_n = \frac{1}{n}$ .

$$\log \left(\frac{n^2+n+1}{n^2}\right) > \frac{1}{n}$$ llevar a ambas partes al poder $e$

$$\frac{n^2+n+1}{n^2} > e^\frac{1}{n} \iff n^2+n+1 > e^\frac{1}{n} \cdot n^2$$

Y esto es así porque $1 \leq e^\frac{1}{n}\leq e$ y $n^2+n+1 > n^2$ . Y sabemos que $\frac{1}n$ diverge y $b_n$ es menor que $a_n$ Así que $a_n$ también diverge.

Q.E.D.

Answer 1

Para demostrar que $\sum_n \log \frac {n^2+n+1}{n^2}$ diverge por los medios más elementales:

$$\text {We have }\quad a_n=\log \left(\frac {n^2+n+1}{n^2}\right)>\log \left( \frac {n^2+n}{n^2}\right)=\log \left( \frac {n+1}{n}\right).$$ $$\text {Therefore }\quad \sum_{n=1}^Na_n>\sum_{n=1}^N\log \left(\frac {n+1}{n}\right)=$$ $$=\log \prod_{n=1}^N\left(\frac {n+1}{n}\right)=\log \left(\frac {(N+1)!/1!}{N!}\right)=\log \;(N+1).$$