$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z$ . Cómo resolver $~z~$ ?

Question

Cómo resolver $~z~$ de $$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z~?$$

Traté de sustituir $~x,~y~$ como $~,~~$ que es $=x+y,~=x-y$ . Pero parece inútil.

Answer 1

En coordenadas polares,

$$x\frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} = r\frac{\partial}{\partial r}$$

Así que la ecuación diferencial se convierte en

$$r\frac{\partial z}{\partial r} = z$$

Utilizando la separación de variables, obtenemos que la respuesta debe ser de la forma

$$z = g(\theta)r \implies z = f\left(\frac{y}{x}\right)\sqrt{x^2+y^2}$$

para una función arbitraria $f$

Answer 2

$$x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z\tag1$$ que es una ecuación diferencial parcial lineal de la forma $$Pp+Qq=R$$ donde $$P=x,~~Q=y,R=z,p=\frac{\partial z}{\partial x},~~q=\frac{\partial z}{\partial y} $$La ecuación auxiliar de Lagrange para $(1)$ son$$ \frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}\implies \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{dz}{z}\tag2 $$Tomando las dos primeras ecuaciones de $(2)$ tenemos$$ \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}\implies \log x=\log y+\log c\implies \frac{x}{y}=c\qquad \text{where $~c~$ is constant}\tag3 $$Tomando las ecuaciones primera y tercera de $(2)$ tenemos$$ \frac{dx}{x}=\frac{dz}{z}\implies \log x=\log z-\log d\implies \frac{z}{x}=d\qquad \text{where $~d~$ is constant}\tag4 $$Desde $(3)$ y $(4)$ la solución general requerida es$$ \frac{z}{x}=\phi\left(\frac{x}{y}\right)\implies z=x~\phi\left(\frac{x}{y}\right)$$ $\phi~$ siendo una función arbitraria.