La "ds" que aparece en una integral con respecto a la longitud de arco no es una forma 1. ¿Qué es?

Question

La única forma razonable de interpretar "$ds$" como un funcional en vectores tangentes tiene que ser que toma un vector tangente y escupe su longitud, pero esto no es lineal. Así que $ds$ no es una forma 1. Todavía parece un buen tipo de objeto para pensar en la integración. ¿$ds$ encaja en una clase más grande de gadgets que generalizan formas diferenciales? ¿O hay alguna razón convincente por la que no debería importarme $ds$?

Answer 1

Es un ejemplo de una forma diferencial absoluta,como la define Toby Bartels aquí: http://ncatlab.org/nlab/show/absolute+differential+form.

Answer 2

Si tiene una curva, también conocida como 1-variedad, dentro de una variedad riemanniana, la métrica riemanniana en la variedad se restringe a una métrica riemanniana 1-dimensional en la variedad 1. La raíz cuadrada de esta métrica es una densidad (ver respuesta de alvarezpaiva) que de hecho se puede integrar a lo largo de la variedad 1.

Answer 3

Es el elemento de volumen en la variedad única. Es una forma 1.