Encontrar la antiderivada de $\frac{e^{-c y^2 }}{y\sqrt{y^2-1}}$

Question

Estoy tratando de evaluar la integral $$\begin{align} \frac{1}{2\sqrt{2}\pi}\int_{0^{-}}^{t} ds \ \frac{e^{-x^2/2S^2(t,s) }}{\Sigma(s) S(t,s)} \end{align}$$ donde $S(t, s) = 2D(t-s)+\frac{\Sigma(s)}{2}$ y $\Sigma(s)= \sigma^2+2Ds$ . Encontré un cambio de variable bastante limpio tomando $\xi=S^{-1}(t,s)$ para que $$\begin{align} \Sigma(s)&=\sqrt{2} \ \xi^{-1}\sqrt{\xi^2\Sigma^2(t)-1}\\ 2D(t-s)&=2 \ \xi^{-2}-\Sigma^2(t)\\ ds&=\frac{2}{D\xi^3} \end{align}$$ Aplicando esto a la integral se obtiene el resultado $$\begin{align} \frac{1}{2 \pi D}\int_{\sqrt{2}/\Sigma (2 t)}^{\sqrt{2}/\Sigma (t)} d{\xi} \ \frac{e^{-x^2 \ \xi^2/2 }}{\xi\sqrt{\Sigma^2(t)\xi^2-1}}=\frac{1}{2 \pi D}{\int_{\xi_L}^{\xi_H} d{\xi} \frac{e^{-x^2 \ \xi^2/2 }}{\xi\sqrt{\Sigma^2(t)\xi^2-1}}}. \end{align}$$ y por último aplicando el cambio de variable $y=\Sigma(t)\xi$ da $$\begin{align} \frac{1}{2 \pi D}{\int_{\xi_L}^{\xi_H} d{\xi} \frac{e^{-x^2 \ \xi^2/2 }}{\xi\sqrt{\Sigma^2(t)\xi^2-1}}} = \frac{1}{2 \pi D}{\int_{\sqrt{2}\Sigma(t)/\Sigma(2t)}^{\sqrt{2}} d{y} \frac{e^{-(x^2/2\Sigma^2(t)) y^2 }}{y\sqrt{y^2-1}}} =\frac{1}{2 \pi D}\color{blue}{\int_{a}^{b} d{y} \frac{e^{-c y^2 }}{y\sqrt{y^2-1}}} \end{align}$$ El cálculo anterior sí que se comprueba numéricamente. Parece que la integral en azul podría tener una antiderivada. Sin embargo, ¡todavía no hay suerte! ¿Alguien que conozca un camino a seguir? ¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Como otros han señalado, no se puede encontrar una solución de forma cerrada en términos de funciones elementales. Sin embargo, si se puede vivir con la función de error y la Función de Owen T entonces se puede encontrar una solución de forma cerrada en términos de estas funciones especiales.

Asumiré la función de error $\operatorname{erf} (x)$ es bien conocido por usted. Se puede encontrar una representación integral para la función Owen T que pretendemos utilizar aquí . Es $$\operatorname{T}(h,a) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \int_h^\infty e^{-x^2/2} \operatorname{erf} \left (\frac{ax}{\sqrt{2}} \right )\, dx.$$ Ejecución de una sustitución de $x \mapsto x \sqrt{2}$ da la siguiente forma que se encontrará más conveniente para la integral considerada aquí: $$\int_z^\infty e^{-x^2} \operatorname{erf}(ax) \, dx = 2 \sqrt{\pi} \operatorname{T}(z \sqrt{2}, a). \tag1$$

Veamos ahora la integral en cuestión. Sea $$I(t) = \int_a^b \frac{e^{-tx^2}}{x\sqrt{x^2 - 1}} \, dx, \quad t > 0.$$ Asumiré $1 < a < b = \sqrt{2}$ . Tenga en cuenta que $I(\infty) = 0$ y estamos obligados a encontrar $I(c)$ donde $c > 0$ . Utilizando el truco de Feynman de diferenciar bajo el signo integral con respecto a $t$ da $$I'(t) = - \int_a^b \frac{x e^{-tx^2}}{\sqrt{x^2 - 1}} \, dx.$$ Ejecución de una sustitución de $u^2 = x^2 - 1$ produce $$\begin{align*} I'(t) &= e^{-t} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} e^{-tu^2} \, du = -\frac{\sqrt{\pi} e^{-t}}{2\sqrt{t}} \operatorname{erf}(u\sqrt{t}) \Big{|}_{\alpha_1}^{\alpha_2}\\ &= -\frac{\sqrt{\pi} e^{-t}}{2\sqrt{t}} \left [\operatorname{erf}(\alpha_2 \sqrt{t}) - \operatorname{erf}(\alpha_1 \sqrt{t}) \right ]. \end{align*}$$ Aquí $\alpha_1 = \sqrt{a^2 - 1}$ y $\alpha_2 = \sqrt{b^2 - 1}$ .

Ahora, como $$\int_c^\infty I'(t) \, dt = I(\infty) - I(c) = -I(c),$$ desde $I(\infty) = 0$ tenemos $$I(c) = -\frac{\sqrt{\pi}}{2} \int_c^\infty \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \left [\operatorname{erf} \left (\alpha_2 \sqrt{t} \right ) - \operatorname{erf} \left (\alpha_1 \sqrt{t} \right ) \right ] \, dt.$$ Al aplicar una sustitución de $t \mapsto t^2$ se obtiene $$I(c) = \sqrt{\pi} \int_{\sqrt{c}}^\infty e^{-t^2} \left [\operatorname{erf}(\alpha_2 t) - \operatorname{erf}(\alpha_1 t) \right ] \, dt.$$ Evaluando esta integral en términos de la función Owen T, a partir de (1) se ve inmediatamente que $$I(c) = 2\pi \left (\operatorname{T} \left (\sqrt{2c}, \alpha_2 \right ) - \operatorname{T} \left (\sqrt{2c}, \alpha_1 \right ) \right ),$$ o $$\int_a^b \frac{e^{-cy^2}}{y\sqrt{y^2 - 1}} \, dy = 2\pi \left (\operatorname{T} \left (\sqrt{2c}, \sqrt{b^2 - 1} \right ) - \operatorname{T} \left (\sqrt{2c}, \sqrt{a^2 - 1} \right ) \right ),$$ la expresión de forma cerrada requerida para nuestra integral.

Tenga en cuenta que si $b = \sqrt{2}$ como parece desprenderse de la pregunta, es posible simplificar aún más una de las funciones Owen T. Como se puede ver aquí cuando el argumento derecho de la función Owen T es la unidad $$\operatorname{T} \left (\sqrt{2c}, \sqrt{b^2 - 1} \right ) = \operatorname{T} \left (\sqrt{2c}, 1 \right ) = \frac{1}{8} \left [1 - \operatorname{erf}^2 \left (\sqrt{c} \right ) \right ],$$ permitiendo que uno escriba $$\int_a^{\sqrt{2}} \frac{e^{-cy^2}}{y\sqrt{y^2 - 1}} \, dy = -\frac{\pi}{4} \left [8 \operatorname{T} \left (\sqrt{2c}, \sqrt{a^2 - 1} \right ) + \operatorname{erf}^2 \left (\sqrt{c} \right ) - 1 \right ].$$

Answer 2

Si $$f(x)=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{x^2-1}}$$ entonces la integral $I=\int_a^bf(x)dx, b>a$ no sólo es convergente para todos los $a>a_0$ donde $a_0$ es la raíz de $1/x=f(x)$ pero también $f(x)\in[0,1)$ , lo que permite esperar alguna forma cerrada de la integral definida. Al menos, una aproximación muy cercana. Como, la transformación $x=\sec t$ da para la integral $$\int_\alpha^\beta e^{-\sec^2t}dt$$ . Un resquicio de esperanza.

EDITAR

Si consideramos $E(x)=\int_0^x e^{-\sec^2t}dt$ Aunque la expansión de Taylor es un poco desesperante: $$e^{-\sec^2x} = \frac{1}{e} \left( 1 - x^2 - \frac{1}{6}x^4 + \frac {11}{90}x^6+O (x^8)\right)$$ Los denominadores son la secuencia $$a_n = \frac{(2n)!}{2^n}$$ y no estoy seguro de los numeradores. Sin embargo, a través de algunos gráficos se puede ver que lo siguiente es aproximadamente correcto. $$e^{-\sec^2x} \approx e^{-1-x^2}(1-\alpha x^4), \text{where } \alpha \in \left[ \frac{2}{3},\frac{5}{6} \right]$$ Por lo tanto, una aproximación cruda, $$E(x)=\frac {\sqrt\pi}{8e}(4-3\alpha) \text{erf} (x) + e^{-1-x^2} \left( \frac{x^3}{2} +\frac{3x}{4} \right)$$

Answer 3

La integral en cuestión no tiene una antiderivada elemental para todos $c$ . Por ejemplo, consideremos el caso en el que $c=1$ :

$$I = \int_1^{\sec{x}} \dfrac{e^{-y^2}}{y\sqrt{y^2-1}} \textrm{d}y$$

Al hacer la sustitución $y=\sec{t}$ podemos observar lo siguiente:

$$I = \int_0^x e^{-\sec^2t} \textrm{d}t$$

Ahora, no sé mucho sobre esta nueva integral, pero sí sé que $$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}n} e^{-\sec^2t} \textrm{d}t = \dfrac{\pi}{2}n \left(1-\textrm{erf}(1)\right)$$ lo que me da la sensación de que la integral que intentas resolver no es elemental.