¿Es el $L^1$ norma continua en el siguiente sentido?

Question

Supongamos que tengo $f \in L^1\cap L^\infty$ y quiero tomar el siguiente límite $$\lim_{h\to0} \int|f(x+h)-f(x)|dx$$

¿Se deduce esto del teorema de convergencia dominada? Dado que $|f(x+h)-f(x)| \leq |f(x+h)|+|f(x)|$ y $\|f(x+h)\|_{L^1(\mathbb{R})}<\infty$ y $\|f(x)\|_{L^1(\mathbb{R})}<\infty$ entonces tenemos $$\lim_{h\to0} \int|f(x+h)-f(x)|dx = \int\lim_{h\to0}|f(x+h)-f(x)|dx = 0$$ ?

No me convence, y creo que un mejor argumento sería involucrar la densidad de la función continua en $L^1$ . Si el enfoque de este post no funciona, ¿alguien puede explicar por qué?

Answer 1

Dejemos que $g\in L^{1}$ sea continua, de manera que $\left\|g-f\right\|_{L^{1}(\mathbb{R})}<\epsilon$ . Dejemos que $N>0$ sea lo suficientemente grande como para que $$\max\left\{\int_{[-N,N]^{c}}\left|f\right|,\int_{[-N,N]^{c}}\left|g\right|\right\}<\epsilon$$ para $\epsilon>0$ dado. Para $0\leq x, h<N$ , $\left|g(x+h)\right|\leq \sup_{x\in [-2N,2N]}\left|g(x)\right|=:M$ . Así que $\left|g(x+h)-g(x)\right|\leq 2M$ . Por el SES, $$\lim_{h\rightarrow 0}\int_{-N}^{N}\left|g(x+h)-g(x)\right|dx=0$$ Observe que $$\int_{[-N,N]^{c}}\left|g(x+h)-g(x)\right|dx\leq 2M\epsilon$$

Esto debería servirte para empezar.

Answer 2

(He marcado la pregunta como duplicada, pero luego me he dado cuenta de que preguntabas por el planteamiento de una prueba).

Se puede utilizar el SES como parte de la prueba, pero no se deduce directamente.

Para utilizar la DCT, se necesita un límite integrable y una función límite.

En lo anterior, es necesario proporcionar un límite superior integral que sea "independiente" de $h$ . Y el límite no existe necesariamente a menos que la función sea continua ae. Por ejemplo, $f(x)=1_{\mathbb{Q}^c}(x) e^{-|x|}$ no es continua en ninguna parte.

Un enfoque que utiliza aproximaciones continuas con soporte compacto es bastante estándar.