Una pregunta sobre la estimación de un área de círculos superpuestos

Question

Necesito mostrar $$\text{Area}((B-B') \cup (B'-B))\leq 4R\delta$$ donde B y B' son círculos con el mismo radio R, B está centrado en el origen y B' está centrado en $(\delta,0)$ . Desde $B-B'$ y $B'-B$ tienen la misma área y son disjuntos, basta con demostrar $$\text{Area}(B-B')\leq 2R\delta$$ He intentado mirar los triángulos, usando las ecuaciones implícitas para los círculos, y usando el hecho de que $$\text{Area}(B-B')=\text{Area}(B)-\text{Area}(B\cap B')$$ He descubierto que $$\text{Area}(B\cap B')\leq 2R(2R-\delta),\quad \text{Area}(B)\leq4R^2$$ La primera parte la he encontrado sobreestimando el área de la intersección por un rectángulo. Si resto estas dos cantidades llego al resultado, pero no parece que esté exactamente permitido por la forma en que se plantean estas desigualdades. Se supone que esto es parte de una prueba de que una función armónica acotada es constante para mi clase de Análisis de EDP.

Answer 1

La siguiente figura muestra el cuarto superior derecho de la figura. Si se añade la pieza triangular roja al área de $\>B'\setminus B\>$ se obtiene un área que es obviamente $=R\cdot\delta$ . De ello se deduce que el área que nos interesa es $<R\delta$ , resp. $<4R\delta$ en total.

Answer 2

La superficie requerida

$$A = 4.\left(\int_{-R}^{\frac{\delta}{2}}\sqrt{R^2-t^2}dt - \int_{\frac{\delta}{2}}^{R}\sqrt{R^2-t^2}dt\right)$$

$$A\le 4.\left(\int_{-R}^{\frac{\delta}{2}}Rdt - \int_{\frac{\delta}{2}}^{R} Rdt\right)$$

$$A\le 4.R\left(\frac{\delta}{2}+R - R+\frac{\delta}{2}\right)$$

$$A\le4R\delta$$

Answer 3

Tenemos que el área de $(B-B') \cup (B'-B)$ es cuatro veces el siguiente $$\begin{align}\int_{\delta/2}^{R+\delta}\sqrt{R^2-(t-\delta)^2}dt-\int_{\delta/2}^{R}\sqrt{R^2-t^2}dt &= \int_{-\delta/2}^{R}\sqrt{R^2-t^2}dt-\int_{\delta/2}^{R}\sqrt{R^2-t^2}dt\\ &=\int_{-\delta/2}^{\delta/2}\sqrt{R^2-t^2}dt\leq R\delta\end{align}$$ donde los círculos $B$ y $B'$ vienen dadas por $x^2+y^2=R^2$ y $(x-\delta)^2+y^2=R^2$ .

Véase también la pregunta relacionada Demostrar que $\int^{R+\delta}_{\delta/2} \sqrt{R^2-(x-\delta)^2}\,dx-\int^{R}_{\delta/2} \sqrt{R^2-x^2}\,dx\leq R\delta$ , para $0<\delta<R.$