Momento de inercia de un objeto en forma de L

Question

Una barra delgada uniforme formada en un objeto de masa en forma de L $m=2.5kg$ con un lado más largo de la longitud $l=0.8m$ y un lado más corto de longitud $l/2$ . Inicialmente el objeto se coloca con un extremo en el origen y el lado más largo a lo largo de la $x$ eje. El centro de masa del objeto tiene coordenadas $r_{cm}=\frac{2l}{3} \hat i -\frac{l}{12} \hat j$ . También debo añadir que el objeto se mantiene en posición por un cable sin masa que hace un ángulo $\phi=50 ^{\circ} $ con el lado más largo del objeto.

El objeto está unido a la pared por un pivote (en el origen). Calcule el momento de inercia del objeto alrededor de un eje que pasa por el pivote perpendicular al plano del objeto.

Sé que el momento de inercia es igual a $I=r^2 m $ . Descompuse el momento de inercia en dos componentes, uno calculando $I_1$ sobre el lado más largo de L (longitud de $l$ ), y el otro calculando $I_2$ sobre el lado más corto de L ( longitud de $ \frac{l}{2} $ ). Sin embargo, la respuesta correcta proporcionada indica claramente que $I_1=\frac{2}{9}ml^2$ y $I_2= \frac{13}{12}\frac{1}{3} ml^2$ (utilizando el teorema del eje paralelo). No sé cómo lograr estos resultados, mi razonamiento para calcular $I_1$ es:

Desde $I=mr^2$ ,

$I_1=\frac{2}{3}m l^2$ (ya que el lado más largo es el doble de largo que el lado más corto)

que claramente me da un resultado incorrecto.

Si alguien pudiera explicar la lógica del cálculo del momento de inercia total de este tipo de objetos, sería estupendo.

Answer 1

Sin hacer la integración hay que tener un plan:

1) Dibujar bueno diagrama con un sistema de coordenadas bien definido.

2) Considera que el objeto está compuesto por dos varillas delgadas de densidad uniforme. A partir de sus longitudes, puedes asignar masas a cada varilla. Encuentra también las coordenadas del CM de cada varilla.

3) Calcular el MOI de cada varilla sobre su propio CM. (Se encuentra fácilmente en cualquier texto de física)

4) Utilice el teorema del eje paralelo y calcule el MOI de cada varilla en torno al punto de pivote.

5) Suma estos MOI finales.

Answer 2

Consideremos el caso general:

Consideremos una sección transversal, con densidad $\rho$ y el grosor $w$ . El dominio se divide en dos áreas rectangulares:

1. La pierna horizontal con:

   • Masa $m_1 =\rho w t_1 (\ell_1-t_2)$
   • Centroide $(x_1,y_1) = \left( \frac{\ell_1+t_2}{2}, \frac{t_1}{2} \right)$
   • MMOI sobre el centroide $I_1 = \frac{m_1}{12} \left(t_1^2+(\ell_1-t_2)^2\right)$

2. La pierna vertical con:

   • Masa $m_2 =\rho w t_2 \ell_2$
   • Centroide $(x_2,y_2) = \left( \frac{t_2}{2}, \frac{\ell_2}{2} \right)$
   • MMOI sobre el centroide $I_2 = \frac{m_2}{12} \left(t_2^2+\ell_2^2\right)$

3. Propiedades combinadas

   • Masa $m = m_1+m_2 = \rho w \left( \ell_1 t_1 + t_2(\ell_2 - t_1) \right)$
   • Centroide $ (x_c,y_c) = \left( \frac{m_1 x_1+m_2 x_2}{m_1+m_2}, \frac{m_1 y_1+m_2 y_2}{m_1+m_2} \right)$
   • MMOI sobre el centroide $I_c =\sum \limits_{i=1}^2 \left[I_i + m_i \left( (x_c-x_i)^2 + (y_c-y_i)^2 \right) \right]$

Answer 3

Un diagrama de la situación:

El momento de inercia de todo el sistema puede escribirse como la suma del momento de inercia de cada elemento en torno a su centro de masa, más una componente debida a que están girando en torno a un punto que no es su centro de masa.

Esto nos da para $I_1$ :

$$\begin{align}I_1 &= \frac{1}{12} \frac{2m}{3} L^2 + \frac{2m}{3} \left(\frac{L}{2}\right)^2\\ &= \frac29 m L^2\end{align}$$

como se indica en su solución.

Se puede utilizar un enfoque similar para $I_2$