Demuestre que existe una sucesión de $F_n$ convergiendo a cero en casi todas partes.

Question

Si F es un positivo $L^1$ sobre R. Definir $F_n = F(x+n)$ . Demuestre que existe una sucesión de $F_n$ convergiendo a cero en casi todas partes.

Si puedo demostrar que $F_n$ converge a 0 en medida o si pudiera demostrar $F_n$ converge en la norma L1 entonces en ambos casos creo que he terminado. pero no sé cómo empezar.

Answer 1

La clave está en modificar ligeramente una prueba estándar de que la convergencia en la medida implica la convergencia puntual en casi todas partes de una subsecuencia. Sea $$A_n(k)=\{x\in(-k,\infty)\colon |F_n(x)|>2^{-k}\}.$$ Para cada $k\in\mathbb N$ existe $N_k\in\mathbb N$ tal que $\mu(A_n(k))<2^{-k}$ para todos $n\geq N_k$ . Podemos suponer que $N_1\leq N_2\leq \cdots$ . Porque $$\sum_{k=1}^\infty\mu(A_{N_k}(k))<\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}<\infty,$$ se deduce del lema de Borel-Cantelli que $$\mu\left(\limsup_{k\to\infty}A_{N_k}(k)\right)=0.$$ Si $x\in\mathbb R$ es tal que $F_{N_k}(x)$ no converge a $0$ como $k\to\infty$ entonces $x$ debe pertenecer a infinitos conjuntos $A_{N_k}(k)$ . En otras palabras, el conjunto de puntos en los que $F_{N_k}$ no converge a $0$ está contenido en el conjunto nulo $\displaystyle \limsup_{k\to\infty} A_{N_k}(k)$ . Así, $F_{N_k}$ converge a $0$ en casi todas partes.