La cuestión es demostrar (o refutar) por inducción matemática la siguiente afirmación:
Para $ n, a, r, \in \mathbb Z,$ y $n, a, r \in Z_{>0},$ y $r 2$ $$S(n) = \sum_{i=0}^n ar^{i-1} = an$$
El ejemplo de respuesta que ofrece el libro es el siguiente
$$S(2) = \sum_{i=0}^2 ar^{i-1} = a + ar = a(r+1)$$ $$ 3a\ (\text{ because }\ r2)$$ $$> 2a,\ S(2)\text{ is not true }$$
No entiendo cómo $S(2) = a + ar = a(r + 1)$ ?
¿No debería ser $S(2) = a(2)$ ?
Primero suponemos que el índice inferior es $i=1$ De lo contrario, la pregunta (y la respuesta proporcionada) no tiene mucho sentido.
En este caso, se nos pide que demostremos que
$$S(n)=\sum_{i=1}^n ar^{i-1}=an$$ donde $n,a,r\in \mathbb Z^+$ y $r\ge 2$ .
Esto es básicamente la suma de una progresión geométrica (GP) y la forma cerrada es claramente falsa para el caso general a menos que $r=1$ . Como $r\ge 2$ Por lo tanto, la afirmación propuesta es falsa.
La solución aportada pone $n=2$ y evalúa la suma término a término (sólo $2$ (tan fácil de hacer a mano), es decir $$S(2)=\sum_{i=1}^2 ar^{i-1}=a+ar=a(r+1)\ge 3a\quad \text{(as }r\ge 2) \neq 2a $$ Por lo tanto, la proposición es falsa para $n=2$ .
La solución correcta, para $r\ge 2$ es $$S(n)=\sum_{i=1}^n ar^{i-1}=\frac {a(r^{n-1}-1)}{r-1}$$
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