Si $R$ es un n-fir, por qué libre $R$ -de rango máximo $n$ ¿tiene un rango único?

Question

Estoy estudiando el libro de Cohn "Anillos ideales libres y localización en anillos generales", y hay algo que da por sentado y no encuentro su razón en ninguna parte del libro. La pregunta es:

Un anillo $R$ se dice que un (izquierda) $n$ -fir si todo ideal de la izquierda generado como máximo por $n$ elementos está libre de rango único (pensando en el ideal como una izquierda $R$ -). Entonces, si $m\leq n$ Cohn utilizó el hecho de que $R^m$ tiene un rango único (como una izquierda $R$ -módulo). No puedo entender por qué.

Answer 1

Si $R$ tiene un ideal $I$ que está libre de rango $k>1$ entonces tiene un ideal libre de rango $n$ para todos $n\geq0$ ya que $I\cong R^k$ tiene un subideal isomorfo a $I\oplus R^{k-1}\cong R^{2k-1}$ y así sucesivamente.

Así que en este caso, si $R$ también es un $n$ -fir, tiene ideales isomorfos a $R,R^2,\dots,R^n$ que todos tienen un rango único.

Si $R$ no tiene un ideal libre de rango $2$ pero es un dominio (como cualquier $n$ -fir es), entonces dos elementos cualesquiera no nulos $a,b\in R$ debe satisfacer $Ra\cap Rb\neq\{0\}$ y así $R$ es un dominio Ore de izquierda, y se sabe que estos satisfacen la propiedad del número de base invariante (IBN) por otras razones.