Demostrar que todas las raíces reales de los polinomios de Hermite están en $(-\sqrt{4n+1}, \sqrt{4n+1})$

Question

Los polinomios de Hermite vienen dados por: $H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \dfrac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

Ahí está la prueba de que todas las raíces son reales: https://math.stackexchange.com/a/104875/504137 .

Y sé el hecho de que todos ellos están limitados, es decir, todas las raíces se encuentran en $(-\sqrt{4n+1}, \sqrt{4n+1})$ . Pero, ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Un límite más débil permite una prueba completamente elemental.
Por la fórmula de Rodrigues sabemos que todos los ceros de $H_n$ son simples y reales: denotémoslas como $\zeta_1,\ldots,\zeta_n$ . Por las fórmulas de Vieta la cantidad $\sum_{k=1}^{n}\zeta_k^2$ sólo depende de los coeficientes de $H_n$ y por las relaciones de recurrencia de los polinomios de Hermite obtenemos $$ \sum_{k=1}^{n}\zeta_k^2 =\frac{n(n-1)}{2},\qquad \sum_{k=1}^{n}\zeta_k^4 =\frac{n(n-1)(2n-3)}{4}, $$ $$ \sum_{k=1}^{n}\zeta_k^6 =\frac{n(n-1)(5n^2-17n+15)}{8},$$ $$\frac{7}{8}n(n-2)^4\leq\sum_{k=1}^{n}\zeta_k^8=\frac{n(n-1)(14n^3-79n^2+155n-105)}{16}\leq n\max_{k}|\zeta_k|^8 $$

$$\frac{7}{8}(n-1)^5\geq\sum_{k=1}^{n}\zeta_k^8=\frac{n(n-1)(14n^3-79n^2+155n-105)}{16}\geq 2\max_{k}|\zeta_k|^8 $$ por lo que para cualquier $n>2$ tenemos

$$\boxed{\frac{101}{112}(n-1)^{5/8}\geq \max_k |\zeta_k| \geq \frac{29}{30}\sqrt{n-2}.}$$

Para demostrar la cota superior dada se puede utilizar la representación integral de $H_n$ que proviene del teorema del residuo aplicado a la función generadora: $$ H_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\|z\|=\rho}\frac{e^{2xz-z^2}}{z^{n+1}}\,dz $$ Teniendo en cuenta algunos $x$ con un gran valor absoluto ( $\geq\sqrt{4n+1}$ ), basta con elegir un $\rho$ (cerca de $|x|$ ) y aproximar la integral de contorno con una precisión decente, para demostrar que su parte real no puede ser cero.

Por otro lado, al citar la respuesta de J.M. a la otra pregunta,

La ruta algebraica lineal de alto nivel implica derivar la relación de recursión $$\hat{H}_{n+1}(x)=x\hat{H}_n(x)-\frac{n}{2}\hat{H}_{n-1}(x)$$ para el monic Polinomio de Hermite $\hat{H}_n(x)=2^{-n}H_n(x)$ (es decir, el polinomio normalizado para tener coeficiente principal unitario), y a partir de él derivar la tridiagonal simétrica Matriz de Jacobi $$\begin{pmatrix}0&\sqrt{\frac12}&&&\\\sqrt{\frac12}&0&\sqrt{\frac22}&&\\&\sqrt{\frac22}&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&\ddots&\sqrt{\frac{n-1}2}\\&&&\sqrt{\frac{n-1}2}&0\end{pmatrix}$$ cuyo polinomio característico es $\hat{H}_n(x)$ .

y luego aplicar el Teorema del círculo de Gershgorin inmediatamente obtenemos $$ \max_k |\zeta_k| \leq \sqrt{2n-2} $$ para cualquier $n>2$ .

Answer 2

No parece que haya muchas preguntas sobre este tema en Math.SE, así que sólo por diversión vamos a utilizar algunos trucos del análisis matricial para mejorar ligeramente el límite $\sqrt{2n-2}$ en la respuesta de Jack.

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Dejemos que $A = [a_{ij}]$ ser un verdadero $n \times n$ matriz. Definir $|A| = [|a_{ij}|]$ . Escribiremos $A \geq 0$ si todos $a_{ij} \geq 0$ . Sea $\rho(A)$ sea el valor absoluto del mayor valor propio de $A$ .

Teorema. Dejemos que $A$ y $B$ ser real $n \times n$ matrices. Si $B - |A| \geq 0$ entonces $\rho(A) \leq \rho(|A|) \leq \rho(B)$ .

Este es el teorema 8.1.18 de Horn & Johnson Análisis de la matriz .

Teorema. Los valores propios del $n \times n$ matriz $$ \begin{pmatrix}a&b&&&\\c&a&b&&\\&c&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&\ddots&b\\&&&c&a\end{pmatrix} $$ son $$ \lambda_k = a + 2\sqrt{bc} \cos\left(\frac{k\pi}{n+1}\right), \qquad k=1,\ldots,n. $$

Este es un hecho conocido sobre las matrices Toeplitz tridiagonales. Véase, por ejemplo, este PDF .

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Usando la matriz de J.M. de la respuesta de Jack, la matriz

$$ \begin{pmatrix}0&\sqrt{\frac{n-1}2}&&&\\\sqrt{\frac{n-1}2}&0&\sqrt{\frac{n-1}2}&&\\&\sqrt{\frac{n-1}2}&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&\ddots&\sqrt{\frac{n-1}2}\\&&&\sqrt{\frac{n-1}2}&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&\sqrt{\frac12}&&&\\\sqrt{\frac12}&0&\sqrt{\frac22}&&\\&\sqrt{\frac22}&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&\ddots&\sqrt{\frac{n-1}2}\\&&&\sqrt{\frac{n-1}2}&0\end{pmatrix} $$

es $\geq 0$ para $n \geq 2$ Así que, por los dos teoremas anteriores,

$$ \max_k |\zeta_k| \leq \sqrt{2n-2} \cos\left(\frac{\pi}{n+1}\right). $$

Para obtener un límite inferior podemos observar que cuando $n$ es incluso el polinomio característico de la matriz

$$ \begin{pmatrix} 0&\sqrt{\frac12}\\ \sqrt{\frac12}&0&0\\ &0&0&\sqrt\frac32\\ &&\sqrt\frac32&0&0\\ &&&0&0&\sqrt\frac52\\ &&&&\sqrt\frac52&0&\ddots\\ &&&&&\ddots&\ddots&\sqrt\frac{n-1}2\\ &&&&&&\sqrt\frac{n-1}2&0 \end{pmatrix} $$

es

$$ \prod_{k=0}^{(n-2)/2} \left(\lambda^2 - \frac{2k+1}{2}\right), $$

y cuando $n$ es impar el polinomio característico de la matriz

$$ \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0&\sqrt\frac22\\ &\sqrt\frac22&0&0\\ &&0&0&\sqrt\frac42\\ &&&\sqrt\frac42&0&0\\ &&&&0&0&\ddots\\ &&&&&\ddots&\ddots&\sqrt\frac{n-1}2\\ &&&&&&\sqrt\frac{n-1}2&0 \end{pmatrix} $$

es

$$ -\lambda \prod_{k=0}^{(n-1)/2} \left(\lambda^2 - k\right). $$

Dado que estas dos matrices son $\leq$ la matriz de Hermite, obtenemos el límite inferior

$$ \max_k |\zeta_k| \geq \sqrt{\frac{n-1}{2}}. $$