Minimizar $a+b+c$ donde $a!=b! \cdot c^2$ y $c \geq 10$ , $a,b,c \in \Bbb N^+$

Question

Para $c=10$ obtenemos $a=100$ y $b=99$ .

Sin embargo, me pregunto si es posible escribir el cuadrado de un número como una multiplicación de enteros consecutivos. Así, si

$c^2 = a (a-1) (a-2) \cdots (a-n)$

entonces posiblemente obtendríamos una menor $a+b+c$ .

$b=1$ , $\ \ $ ( $n=a-1$ ) no es posible porque los únicos factoriales cuadrados son $0!$ y $1!$ .

Estas son mis ideas sobre el problema. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Comentario convertido en respuesta por solicitud.

El producto de enteros positivos consecutivos nunca es un cuadrado perfecto. Demostrado por primera vez por Paul Erdős en 1939. Una copia en línea de ese artículo Notas sobre productos de enteros consecutivos se puede encontrar aquí .

Answer 2

Si quisieras demostrar esto sin usar el teorema de Erdős, podrías proceder algo así:

1. El valor $a+b+c$ es 209, utilizando $a=100,b=99,c=10$ . Para obtener un valor menor para $a+b+c$ entonces $c < 209$ .
2. $208^2=43264$ Así que $c$ tendría que ser el producto, $p$ de un conjunto de enteros consecutivos, donde $p \leq 43264$ .
3. La secuencia más larga de enteros positivos donde $p \leq 43264$ es $1\dots 8$ . El segundo más largo es $2\dots8$ . Tampoco son cuadrados.
4. El tercero más largo (longitud $=6$ ) son $2\dots7$ y $3\dots8$ . No son cuadrados.
5. El cuarto más largo (longitud $=5$ ) son $2\dots6,\dots, 4\dots8,\dots, 6\dots10$ . Ninguno es cuadrado.
6. El quinto más largo (longitud $=4$ ) son $2\dots5,\dots, 8\dots11, \dots, 12\dots15$ . Ninguno es cuadrado.
7. El séptimo más largo (longitud $=3$ ) son $2\dots4, \dots, 14\dots16, \dots, 34\dots36$ . Ninguno es un cuadrado.
8. El séptimo más largo (longitud $=2$ ) son los pares: $2\dots3, \dots, 36\dots37, \dots, 207\dots208$ . El producto de ningún par de enteros consecutivos es un cuadrado.
9. Las secuencias más cortas son números simples. Sin embargo, la solución mínima con un solo número es $a=100,b=99,c=10$ .
10. Por lo tanto, usted sabe que la solución es $b=99$ .

Hay $1+2+5+11+33+206=258$ casos a comprobar con este método.

Puedes eliminar los casos de 3 enteros consecutivos observando lo siguiente (donde el número mínimo en todas las secuencias es al menos 2):

1. Supongamos que ninguno de los 3 es un cuadrado. Si el menor de los 3 enteros es impar, entonces los 3 enteros son coprimos, por lo tanto el producto tiene al menos 3 factores primos con exponentes Impares y no es un cuadrado
2. Supongamos que ninguno de los 3 es un cuadrado. Si el menor de los 3 enteros es par, éste y el último entero tienen 2 como factor común, pero ningún otro factor primo compartido. El primer entero dividido por 2 puede ser un cuadrado, o el tercero dividido por 2 puede ser un cuadrado, pero no ambos. Por lo tanto, al menos uno de los dos tiene una factorización primaria en la que al menos un factor primo impar tiene un exponente impar. Como, además de un factor 2, los tres son coprimos, el producto tendrá al menos 2 factores primos Impares con exponentes Impares, por lo que no es un cuadrado perfecto.
3. Supongamos que uno de los 3 es un cuadrado. Los otros dos no serán cuadrados. Hay dos casos: el cuadrado es el número medio, el cuadrado no es el número medio. Si el cuadrado es el número del medio, el producto de los otros dos es de la forma $n^2+2n$ , si no $n^2+n$ . Ninguna de las dos expresiones puede ser un cuadrado.

Aunque no lo he intentado, estoy seguro de que se podría emplear un razonamiento similar para demostrar que los productos de secuencias con longitudes de 4, 5, 6 y 7 no pueden ser cuadrados, pero supongo que las pruebas podrían ser más complicadas.

Answer 3

Esta es una variante de la respuesta de Xpw, destinada a reducir el número de casos separados que hay que examinar para demostrar que $(a,b,c)=(100,99,10)$ minimiza la suma $a+b+c$ si $c\ge10$ .

Supongamos que $a!=b!\cdot c^2$ con $c\ge10$ y $a+b+c\lt209$ . Escribamos $a=b+n$ . Entonces tenemos

$$c^2=(b+1)(b+2)\cdots(b+n)\le(208-2b-n)^2$$

No podemos tener $n=2$ ya que dos números enteros consecutivos son relativamente primos, por lo que cada uno tendría que ser un cuadrado para que su producto fuera un cuadrado, pero los cuadrados positivos difieren al menos en $3$ .

Para $n\ge3$ tenemos la siguiente desigualdad cruda:

$$b^n\le205^2\lt50000$$

(Puedes ser menos burdo si quieres, pero poco se gana con ello). Ya que $40^3=64000$ y $20^4=160000$ vemos que $b\lt40$ si $n=3$ y $b\lt20$ si $n\ge4$ . Hagamos el $n\ge4$ caso primero.

Cualquier cadena de $4$ o más números consecutivos que empiecen por un número menor o igual a $20$ contiene al menos un primo dentro del último $4$ números de la cadena (el primer hueco primo mayor que $4$ se produce en $29-23$ ). El producto de una cadena de este tipo sólo contiene ese primo a la primera potencia, por lo que no puede ser un cuadrado.

Cualquier cadena de tres números consecutivos contiene exactamente un número divisible por $3$ . Para que su producto sea un cuadrado, el número divisible por $3$ debe ser divisible por una potencia par de $3$ . Para las cadenas que comienzan en $40$ o menos, las únicas posibilidades son $9$ , $18$ y $36$ . Desde $7$ , $11$ , $17$ , $19$ y $37$ son primos, las únicas cadenas a comprobar son $8\cdot9\cdot10$ y $34\cdot35\cdot36$ , ninguno de los cuales es un cuadrado.