Hoy estaba pensando en probar esta afirmación, pero yo realmente podría no subir con una idea en todos. Quiero demostrar que $\sin10^\circ$ es irracional. ¿Alguna idea?
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Supongamos que $x=\sin(10^\circ)$ y queremos demostrar la irracionalidad de la $x$. Entonces podemos usar el Triple Ángulo Fórmula para $\sin$ conseguir $-4x^3+3x = \sin(30^\circ)=\frac12$; en otras palabras, $x$ es una solución de la ecuación de $-8x^3+6x-1=0$.
Pero ahora que tenemos esta ecuación podemos utilizar otra herramienta, el Racional de la Raíz Teorema : cualquier racional raíz de $\frac pq$ de la ecuación debe tener su numerador $p$ dividiendo $1$, y su denominador $q$ dividiendo $-8$. Esto implica que cualquier racional de la raíz del polinomio debe ser uno de $\{\pm 1, \pm\frac12, \pm\frac14, \pm\frac18\}$; ahora usted puede probar cada uno de estos valores directamente por conectarlo a la cúbico para demostrar que ninguno de ellos es una raíz.
Alternativamente, si usted no quiere ir a tantos problemas, podemos utilizar otra herramienta: el Criterio de Eisenstein. En primer lugar, nos 'tirón' de nuestra ecuación sustituyendo $y=\frac1x$; sabemos que $x$ es finito y no nulo, por lo $y$ es también finito (y racional, si $x$) y no-cero, y podemos multiplicar por: reescribir la ecuación en términos de $y$ obtenemos $-8\frac1{y^3}+6\frac1y-1=0$, y multiplicando este por $y^3$ obtenemos $-y^3+6y^2-8=0$. Ahora, Eisenstein criterios no se aplican directamente aquí (porque el único prime que divide nuestro coeficiente constante $8$$2$, pero nos hacen tener $2^2=4$ dividiendo $8$), pero podemos empezar a jugar con simples sustituciones como $z=y\pm 1$, $z=y\pm2$. Tratando de $z=y-1$ (por lo $y=z+1$) en primer lugar, descubrimos que la ecuación se convierte a $-z^3+3z^2+9z-3=0$. Y ahora el Criterio de Eisenstein no se aplican, con la $p=3$, y podemos concluir que este polinomio en $z$ (y por lo tanto nuestro polinomio en $y$, y así nuestro polinomio en $x$) es irreducible sobre los racionales.
Por cierto, el hecho de que este polinomio ($-8x^3+6x-1$) es irreducible tiene consecuencias para un famoso problema clásico:
Definir el grado de una expresión algebraica número de la orden de los mínimos (es decir, la de menor orden) polinomio que es un cero de; esta es una de las muchas definiciones equivalentes (a pesar de que la equivalencia es de un profundo teorema en su propio derecho). Ahora, desde la $-8x^3+6x-1$ es irreductible, sus raíces (y, en particular, $\sin(10^\circ)$) tienen un grado $3$; si su grado fueron más bajos, entonces su polinomio mínimo sería un factor de $-8x^3+6x-1$. Pero es sabido que cualquier número que es construible con regla y compás debe tener grado $2^n$ algunos $n$; de manera informal, brújulas puede tomar la plaza de las raíces, pero no raíces cúbicas. Desde $\sin(10^\circ)$ tiene el grado $3$, esto implica que no es construible con regla y compás — y, en particular, que un $10^\circ$ ángulo no es edificable. Pero sabemos que un $30^\circ$ ángulo es edificable, por lo que debe ser imposible de obtener un $30^\circ$ ángulo a de un $10^\circ$ ángulo. En otras palabras, trisecting arbitraria ángulos es imposible con la regla y el compás!
Tonny
Puntos
5020
SUGERENCIA
$\sin(3x)=\sin(2x+x)$
Utilice esta y ampliar como una fórmula de ángulo compuesto a mano derecha y obtener un polinomio en el lado derecho en términos de $\sin(x)$ $\sin(3x) $
usted conseguirá $\sin(3 x)=3 \sin(x)-4 \sin^3(x)$
entonces sub $x=10^\circ$ y resolver la ecuación polinómica como obtendrá respuesta $\sin(10^\circ)$ en forma irracional.
