Demostrar que $\binom{n}{k}$ $n \rightarrow \infty$ es $\frac{n^k}{k!}$

Question

El límite de $\binom{n}{k}$ cuando $n \rightarrow \infty$ es $\frac{n^k}{k!}$ para un fijo $k$ .

Intuitivamente, si n es grande, es decir $n= 80000$ entonces $\binom{80000}{4} =\frac{80000·79999·79998·79997}{k!}$ $\simeq \frac{80000^4}{k!}$

¿Cómo demostrarlo formalmente?

Answer 1

Tal vez quiera mostrar $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\binom{n}{k}}{\frac{n^k}{k!}}=1 $$ en cuyo caso su intuición pasa perfectamente: $$ \frac{\binom{n}{k}}{\frac{n^k}{k!}}=\frac{n(n-1)(n-k+1)}{n^k}=1\Big(1-\frac{1}{n}\Big)\cdots\Big(1-\frac{k-1}{n}\Big)\to 1^k=1 $$ como $n\to\infty$ .

Answer 2

Voy a suponer que usted está tratando de demostrar una asintótica. En ese caso, tome como pista que para una $k$ el numerador es $$n(n-1)\cdots(n-k)=n^k(1-1/n)(1-2/n)\cdots(1-k/n).$$ Puedes dividir ambos lados por $n^k$ y ahora aplicar el teorema de la compresión en el lado derecho. Nótese que el hecho $k$ se fija es importante.

Answer 3

Una alternativa a la excelente respuesta de yurnero es la siguiente.

Tenga en cuenta que el término $x_n:=n!/(n-k)!$ tiene exactamente $k$ muchos factores, y podemos ver que $y_n:=n^k$ converge al mismo límite por un "argumento de recuperación", es decir, que $y_n\geq x_n$ y $x_{n+k}\geq y_n$ . Entonces obtenemos que

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{x_n}{k!}$$

tiene el mismo límite que

$$\frac{y_n}{k!}=\frac{n^k}{k!}$$

cuando $n\to\infty$ .

Answer 4

Esto no es (en absoluto) una solución formal.

Considerando $$a_n=\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\,k!}$$ $$\log(a_n)=\log(n!)-\log((n-k)!)-\log(k!)$$ Ahora, utilizando la aproximación de Stirling para valores grandes de $p$ $$\log(p!)=p (\log (p)-1)+\frac{1}{2} \left(\log (2 \pi )+\log \left(p\right)\right)+O\left(\frac{1}{p}\right)$$ Aplique esta fórmula a $\log(n!)-\log((n-k)!)$ y utilizar de nuevo a Taylor para valores grandes de $n$ para conseguir $$\log(n!)-\log((n-k)!)=k \log \left({n}\right)+\frac{k-k^2}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ Ahora, utilizando $a_n=e^{\log(a_n)}$ y Taylor de nuevo $$a_n=\frac{n^k}{k!}\left(1+\frac{k-k^2}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$$