Siendo ingeniero estoy perdido en cómo probar los siguientes ejercicios, y agradecería cualquier comentario.
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Demostrar el teorema de Fubini para un $\mathcal{L}^1$ función integrable $f$ . Aquí está mi intento de hacerlo.
Para una función no negativa $g(x_1,x_2)$ Fubini afirma que $\mu(g) = \mu_2(I^g_2) = \mu_1(I^g_1)$ , donde $I^g_1$ es la integral de $g$ en relación con $x_2$ . Partiendo de este resultado, basta con decir que $$ f \in \mathcal{L}^1(S,\Sigma,\mu) \implies |f|< \infty$$ y como $|f|= f^+ + f^-$ donde $f^+ := \max(f,0)$ y $f^- := \max(-f,0)$ y ambos son no negativos. Por linealidad de la integral tenemos que los resultados dados para las no negativas $g$ mantener para $\mathcal{L}^1$ integrable $f$ desde $$ \mu(f) = \mu(f^+ - f^-) < \mu(|f|) \equiv \mu(f^+ + f^-) < \infty$$ La integral de $f$ entonces es igual a $$ \mu(f) = \mu_2(I^{f^+}_2 - I^{f^-}_2) = \mu_1(I^{f^+}_1 - I^{f^-}_1) = \mu_1(I^{f^+}_1) -\mu_1( I^{f^-}_1) $$
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Dejemos que $X_1,X_2\;: \Omega\rightarrow \mathbb{R}$ sea dado, El mapeo vectorial $X = (X_1,X_2)\;:\Omega\rightarrow \mathbb{R}^2$ es un vector aleatorio si $X_i$ son variables aleatorias. He basado mis ideas en Billingsley 13.2. El vector aleatorio es $\mathcal{F}$ medible si representamos los VR como
$$X(\omega) = (X_1(\omega),X_2(\omega))$$ y luego para cada omega $$[\omega\: : X_1(\omega)\le a_1,X_2(\omega)\le a_2] = [\omega\: : X_1(\omega)\le a_1]\cap [\omega\: : X_2(\omega)\le a_2] \in \mathcal{F}.$$ Por definición, cada intersección es un elemento de $\mathcal{F}$ ya que cada $X_i$ es medible.
