Para $n$ un número entero no nulo, ¿es posible tener una relación $$ n\langle\langle-1,-1\rangle\rangle=\sum_i n_i\langle\langle a_i,b_i\rangle\rangle$$ en $I^2(\mathbb Q)\subset W(\mathbb Q)$ (o tal vez $W(\mathbb R)$ si lo desea), donde $n_i\in\mathbb Z$ y el $a_i,b_i$ son números racionales positivos?
Respuesta
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No, no es posible, ni en $W(\mathbb{R})$ ni en $W(\mathbb{Q})$ : si $a,b>0$ entonces $\langle\langle a,b\rangle\rangle$ es hiperbólico sobre $\mathbb{R}$ así es $0$ en $W(\mathbb{R})$ mientras que $n\langle\langle -1,-1\rangle\rangle$ es distinto de cero si $n$ es distinto de cero. Dado que la igualdad no puede mantenerse sobre $\mathbb{R}$ no se puede mantener sobre $\mathbb{Q}$ o bien.
En general, decidir la igualdad en $W(\mathbb{Q})$ se supone que es fácil: sólo hay que comprobar la igualdad en $W(\mathbb{R})$ y todos $W(\mathbb{Q}_p)$ por el teorema de Hasse-Minskowski. Pero $W(\mathbb{R})\simeq \mathbb{Z}$ a través de la firma (fácil de calcular), y $W(\mathbb{Q}_p)$ también es fácil de calcular con isomorfismos explícitos a anillos finitos (véase el libro de Lam sobre formas cuadráticas, por ejemplo).
