Homomorfismos de anillos de $\mathbb{Z}_n$ a $\mathbb{Z}_m$

Question

Estoy tratando de encontrar los homomorfismos de anillo de $\mathbb{Z}_n$ a $\mathbb{Z}_m$ .

Lo que creo es la respuesta en dos casos:

1) Si $m \gt n $ no hay ningún homomorfismo de anillo.

2) En caso contrario, el homomorfismo envía cada elemento $x$ en $\mathbb{Z}_n$ a $(x \bmod m)$ en $\mathbb{Z}_m$ .

¿Es esto correcto?

EDITAR: Parte de la definición de homomorfismo de anillo es que 1 es enviado a 1

Answer 1

Existe un homomorfismo de anillo desde $\mathbb{Z}_n$ a $\mathbb{Z}_m$ si y sólo si $m$ divide $n$ .

Si $m$ divide $n$ dejemos que se defina: $$\Phi:\left\{\begin{array}{ccc} \mathbb{Z}_n & \to & \mathbb{Z}_m\\ x\bmod n & \mapsto & x\bmod m \end{array}\right..$$ $\Phi$ es un homomorfismo de anillo bien definido.

Supongamos que existe $\Phi$ un homomorfismo de anillo de $\mathbb{Z}_n$ a $\mathbb{Z}_m$ , entonces se tiene : $$\Phi(0\bmod n)=\Phi(n\bmod n)=n\Phi(1\bmod n)=n\bmod m.$$ Desde $\Phi(0\bmod n)=0\bmod m$ , uno tiene $n\bmod m=0$ y $m$ divide $n$ .