Cocientes de anillos no necesariamente por ideales.

Question

Dejemos que $A \subset \Bbb{Z}$ sea tal que, exista un mapa bien definido $\pi: \Bbb{Z} \to \Bbb{Z}/A = \{ x + A : x \in \Bbb{Z}\}$ que es un homomorfismo de anillos.

Así que no estamos estrictamente atados a los ideales $A$ .

Por ejemplo, dejemos que $A = \pm$ los primos Impares. Entonces $x + A = y + A \iff x = y$ De lo contrario, $x -y + A = A$ o hay un número $z$ tal que $z + p$ es un primo impar para cada $p\in A$ . Se puede demostrar fácilmente que tal número no existe. Por lo tanto, una multiplicación y una suma bien definidas en $\Bbb{Z}/A$ son inducidos.

Así, el núcleo del mapa $\pi$ es $0$ y $\Bbb{Z}/A \simeq \Bbb{Z}$ . Sin embargo, si ampliamos el conjunto $A$ para ser el conjunto completo de números Impares. Entonces también obtenemos un mapa bien definido $\pi$ :

$x + A = y + A \iff x - y + A = A \iff x - y = 2k$ para algunos $k \in \Bbb{Z}$ . Es un ejercicio para comprobar manualmente que la multiplicación y la suma se cumplen. Pero lo haremos para estar seguros:

$$ \bar{x} = \bar{x}', \bar{y} = \bar{y}' \implies \\ x - x' = 2m, \ y - y' = 2n \implies \\ (x + y) - (x' + y') = 2(m + n) \\ \text{and,} \ (x - x')(y - y') = 2mn \iff \\xy - x'y' = x'y -y'x + 2mn = 2k $$

Así, $\ker \pi = 2\Bbb{Z}$ y $\Bbb{Z}/A \simeq \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ .

Conjetura . Si $A \subset B$ entonces $\ker \pi_A \subset \ker \pi_B$ .

Dejemos que $A = $ los primos Impares, y $B = $ los números de impar.

Pregunta . ¿Puede describir un subconjunto adecuado $A \subsetneq C \subsetneq B$ tal que $Z/C$ ¿está bien definido?

Creo que esto podría estar relacionado con el problema de $A - A = 2\Bbb{Z}$ que aún no se ha demostrado.

Answer 1

Dejemos que $R$ sea un anillo y $A\subseteq R$ . Dejemos que $R/A = \{x+A\mid x\in R\}$ sea el conjunto de cosets. Definir la relación $\equiv_A$ en $R$ con $$x\equiv_A y\iff x+A = y+A.$$

Esta relación es obviamente una relación de equivalencia en $R$ . $R/A$ es un anillo con operaciones bien definidas $$(x+A)+(y+A) = (x+y)+A\\(x+A)(y+A) = (xy+A)$$

inducido por las operaciones en $R$ si y sólo si $\equiv_A$ es un congruencia lo que significa que $\equiv_A$ es compatible con las operaciones en $R$ .

Denota con $\operatorname{Con}R$ el conjunto de congruencias en $R$ y con $\operatorname{Id}R$ el conjunto de ideales de $R$ . Definamos las funciones

\begin{align} \varphi\colon \operatorname{Con}R&\to\operatorname{Id}R &\psi\colon \operatorname{Id}R&\to\operatorname{Con}R\\ \equiv\, &\mapsto \{x\in R\mid x\equiv 0\} &I&\mapsto \{(x,y)\in R\times R\mid x - y\in I\}.\end{align}

Puedes comprobar fácilmente que estas funciones están bien definidas y que son inversas entre sí. Además, ¡preservan el orden! Si ampliamos $\psi$ a todos los subconjuntos de $R$ entonces es bien sabido que la relación inducida $\psi(I)$ es congruente si y sólo si $I$ es ideal.

Volvamos ahora a nuestra congruencia $\equiv_A$ y su ideal asociado $I_A$ . Está claro que $x+A = y + A$ si y sólo si $x-y+A = A$ es decir $x\equiv_A y$ si y sólo si $x - y\in I_A$ lo que significa que $\equiv_A$ es igual a la congruencia inducida por $I_A$ . Concluimos que $\equiv_A$ es congruente si y sólo si $I_A$ es ideal. Si $R/I_A$ es cociente estándar por ideal, se puede verificar inmediatamente que $R/I_A\cong R/A$ con el isomorfismo definido como $x+I\mapsto x+A$ .

Volviendo a sus ejemplos.

1. Dejemos que $A = \{\pm p\mid p\ \text{odd prime}\}$ . En lugar de comprobar que $\equiv_A$ es congruente, por la discusión anterior basta con comprobar que $I_A = \{x\in R\mid x + A = A\}$ es ideal. De hecho, obtenemos que $I_A = \{0\}$ Así que $\mathbb Z/A$ es un anillo isomorfo a $\mathbb Z$ .

2. Dejemos que $B = \{2n+1\mid n\in\mathbb Z\}$ . Entonces $I_B = 2\mathbb Z$ Así que $\mathbb Z/B$ es un anillo isomorfo a $\mathbb Z/2\mathbb Z$ .

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Hasta ahora todo parece estar bien. Sin embargo, al trabajar con subconjuntos generales de $R$ en lugar de los ideales es muy poco recomendable. La razón obvia es que ni siquiera sabemos si $R/A$ es un anillo o no. Además, cuando $I\subseteq J$ son ideales de $R$ obtenemos el epimorfismo de anillo $R/I\to R/J$ . Cuando $A\subseteq B$ son subconjuntos de $R$ puede que ni siquiera haya un homomorfismo no trivial $R/A\to R/B$ .

Por ejemplo, dejemos que $I$ un ideal propio no nulo y $A = I\cup\{a\}$ , $a\not\in I$ . Para demostrar que $R/A$ es un anillo, tenemos que demostrar que $I_A = \{ x\in R\mid x + A = A\}$ es un ideal.

En primer lugar, permítanme mostrar que $I_A \subseteq I$ . Dejemos que $x\in I_A$ y asumir que $x\not\in I$ . Para todos los $y\in I$ tenemos $x + y \not\in I$ y en particular, $x + y = a$ es decir $x = a - y$ . Esto es una contradicción, ya que $I$ es distinto de cero. Por lo tanto, $x\in I$ .

Ahora, dejemos que $x\in I_A$ . Desde $a\not\in I$ y $x\in I$ tenemos $x+a\not\in I$ Así que $x+a = a$ . Así, $x = 0$ . Concluimos que $I_A = \{0\}$ . En particular, $R/A$ es un anillo isomorfo a $R$ . Además, este ejemplo da una respuesta negativa a su conjetura.

Para responder a su pregunta, dejemos que $C = \{2n+1\mid n\in\mathbb Z\}\setminus\{1\}$ . Para determinar $I_C$ En primer lugar, hay que tener en cuenta que $I_C \subseteq 2\mathbb Z$ . Supongamos que $x\in I_C$ , $x\neq 0$ . Entonces, $x = 2n$ para un valor no nulo $n$ . Definir $y = 1 - 2n\in C$ . Entonces tenemos $x + y = 1\not\in C$ . Concluimos que $I_C = \{0\}$ y en particular $\mathbb Z/C$ es un anillo isomorfo a $\mathbb Z$ .

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Por último, permítanme dar un ejemplo de conjunto $A$ tal que $R/A$ no es un anillo. Si $A$ es un subgrupo aditivo de $R$ entonces es fácil comprobar que $I_A = A$ . Así, por el argumento general anterior, $R/A$ es un anillo si y sólo si $A$ es un ideal de $R$ . Por lo tanto, encuentre un subgrupo aditivo que no sea un ideal, y obtendrá un ejemplo de $R/A$ no ser un anillo.

Sin embargo, si $A$ es un subgrupo aditivo, $R/A$ es un grupo abeliano. Esto se debe a que, análogamente a los anillos, existe una correspondencia biyectiva entre las congruencias de un grupo y sus subgrupos normales.