Dejemos que $f(x)$ sea una función continua positiva sobre $ [1, 2] $ . Zona de la región $[1,2]$ : (lista de opciones más abajo) Esta es la lista que tengo para elegir:
$$a)\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(1 + \frac{i-1}{n})\frac{1}{n}$$ $$b)\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} f(1 + \frac{k-1}{n})\frac{1}{n}$$ $$c)\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{f(1 + \frac{i}{n})}{n}$$ $$d) \int_{1}^{2} f(x) dx$$ $$e) \text { All of the above}$$ $$f) \text { None of the above}$$
De la lista anterior sé que $\Delta x = \frac{1}{n}$ y así $x_i^* = a + i\Delta x = 1 + \frac{i}{n}$ . Sé que $d$ es cierto. También sé que $c$ es Verdadero porque sigue el formato $b)\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n} f(1 + i\Delta x)\Delta x$ .
Desde $c$ y $d$ son verdaderas, entonces todas deben ser verdaderas, pero ¿puede alguien explicar por qué $a$ y $b$ son verdaderas?
