Estados ligados de Majorana en el formalismo de Bogoliubov-de Gennes (BdG)

Question

Tengo el hamiltoniano de enlace fuerte de la cadena de Kitaev en el formalismo de BdG (como el de la sección "Correspondencia borde-bulto en la cadena Kitaev" de la Semana 1 de este curso http://www.topocondmat.org/):

$H_{BdG}=-\sum_n \mu \tau_z\left|n\right\rangle\left\langle n\right|-\sum_n \left[(t\tau_z+i\Delta\tau_y)\,\left|n\right\rangle\left\langle n+1 \right| + \textrm{h.c.}\right].$

En la fase topológica ($\mu < 2t$) obtenemos dos soluciones de energía cero al diagonalizar la matriz anterior y si pasamos a la fase trivial ($\mu > 2t$) estos dos estados se "dividirán" en un par con $\pm E$ debido a la simetría de huecos de partículas del sistema. Debido a la redundancia del formalismo, solo miramos las excitaciones con energías positivas, mi pregunta es: ¿cada estado propio de energía cero es un modo Majorana único o un modo fermiónico a energía cero? Cuando dos Majoranas se fusionan, ¿deberíamos tomar solo el estado propio $+E$? Los valores propios se muestran en la imagen de abajo, donde utilicé $N=10$ sitios con $\Delta=t=1.0$ y varié $\mu$.

Answer 1

La respuesta corta es la siguiente: cada línea en tu gráfico está representando un modo fermiónico (es decir, un operador de creación/aniquilación fermiónico $c$), o equivalentemente cada línea corresponde a dos modos Majorana (ya que un modo fermiónico define dos operadores Majorana $\gamma_1 = \frac{1}{2} \left(c+c^\dagger \right)$ y $\gamma_2 = \frac{1}{2i} \left(c-c^\dagger \right)$). Sin embargo, cada línea está representada dos veces. No es una regla escrita en piedra que debas tomar la línea superior, simplemente asegúrate de contar cada par de líneas solo una vez. Ya sea que elijas la línea superior o inferior, depende de cómo llames al operador de creación fermiónico y al operador de aniquilación. Supongo que lo más claro sería simplemente olvidar el conjunto inferior de líneas desde el principio.

Entonces, tomemos el punto $\mu = 0$. En tu gráfico vemos dos líneas que se encuentran allí, pero como señalas, esto se debe a una redundancia en la descripción, por lo tanto, en realidad solo hay una línea allí. En otras palabras, hay un modo fermiónico $c$ con energía cero. Esto da lugar a una degeneración doble: $|0\rangle$ y $c^\dagger |0\rangle$. Tu gráfico muestra que este modo en realidad no se mantiene en energía cero en toda la fase, pero supongo que esto debe deberse a efectos de tamaño finito y a medida que tomas $L$ más grande, la línea debería acercarse a cero hasta el punto de transición de fase.