Cómo podemos resolverlo $\lim _{_{x\rightarrow \infty }}\int _0^x\:e^{t^2}dt$ ?

Question

Cómo podemos resolverlo $\lim _{_{x\rightarrow \infty }}\int _0^x\:e^{t^2}dt$ ?

P.D: Este es mi método tal y como lo pensé: $\int _0^x\:\:e^{t^2}dt>\int _1^x\:e^tdt=e^x-e$ que es divergente, por lo que todas sus respuestas, me ayudó a pensar de otra manera, tal vez mi método ayudar a algo más :D

Answer 1

Desde $$ e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\dotsb $$ tenemos que, para $x\ge0$ , $e^{x^2}\ge1+x^2$ . Así que $$ \int_{0}^{x}e^{t^2}\,dt\ge\int_{0}^x(1+t^2)\,dt=x+\frac{x^3}{3} $$ ¿Puedes terminar?

Answer 2

Esta función diverge muy rápidamente. En particular, $e^{t^2}$ es monótona creciente con límite $\infty$ como $t \to \infty$ . Por lo tanto su integral diverge (y se hace muy, muy grande muy, muy rápidamente).

Answer 3

$$e^{t^2}> e^t\text{ from 1 to $ \N - Infancia $, and the part from 0 to 1 is finite.}$$ y la integral $ \int_1^\infty e^t $ diverge. Por lo tanto, por la prueba de comparación, también diverge.

Answer 4

$$ \begin{align} \int_0^xe^{t^2}\,\mathrm{d}t &\ge\int_0^x\frac tx\,e^{t^2}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac1{2x}\left(e^{x^2}-1\right) \end{align} $$ Como $x\to\infty$ la función de la derecha va a $\infty$ extremadamente rápido.

Answer 5

O simplemente utilice $e^{x^2} \ge 1$ en $[0,\infty)$ para ver $\int_0^x e^{t^2}dt \ge x \to \infty.$