¿Cómo se escribe un operador diferencial como matriz? Estoy muy confundido. ¿Podría alguien usar ejemplos para ayudarme a entender? Preferiblemente con diferenciación lineal de primer y segundo orden.
Respuesta
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Dependerá un poco de las funciones en las que quieras que trabaje el operador, pero el esquema general es el mismo.
En primer lugar, hay que elegir alguna base para las funciones sobre las que va a trabajar el operador diferencial. Si nos fijamos en el espacio vectorial de las cuadráticas sobre $\mathbb{R}$ podríamos tener la base $\{1,x,x^2\}$
Ahora un mapa lineal está completamente determinado por lo que hace a los elementos de la base. Si llamamos al operador diferencial $D$ Entonces, por supuesto $D(1)=0,\quad D(x)=1, \quad D(x^2) = 2x$ .
Así que podemos codificar esto en una matriz:
$$D= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$
Las columnas de esta matriz son las imágenes de los vectores base después de aplicar $D$ .
Las derivadas de segundo orden no son más que la derivada de la derivada, es decir, aplicando el operador $D$ dos veces. Así que la matriz $D^2$ representará el mapa lineal de una función a su segunda derivada.
En esta respuesta: https://math.stackexchange.com/a/943212/87896 hay otro ejemplo, y aplicarlo para resolver una integral.
