¿Siempre es seguro asumir que un integral es cero si tiene límites iguales?

Question

Aún soy un "newbie" en análisis matemático y me topé con esta integral. Esta es mi solución:

$$\int_0^{2\pi}{\frac{x\cos x}{1+\sin^2x}dx}$$

Ahora he sustituido con $t=\sin x$ % $ $$=\int_0^0{\frac{a\sin x}{1+t^2}dt} = 0$

Pero encontré que el integral $\displaystyle\int_0^\pi{\frac{\cos x}{\sin^2 x}dx}$ que resuelto por la misma sustitución no $0$ pero es indeterminado. No estoy seguro si esto es correcto.

Answer 1

El problema es que directamente no se puede hacer una sustitución que no es uno-a-uno en el dominio de interés. Así que usted puede tomar $t=\sin(x)$, pero para ello tendrá que dividir el dominio entre el $[0,\pi/2],[\pi/2,3\pi/2],[3\pi/2,2\pi]$.

Esta condición de ser uno-a-uno en realidad puede ser relajado. De hecho, en general $\int_a^b f(g(x)) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) dt$; esto es sólo el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena. Pero, en sustitución de los que necesitamos ser cuidadosos acerca de cómo utilizar el derecho de $g'(x)$ a lo largo de todo el intervalo de nuevo, que, en general, cantidades a recoger el derecho "inversa" $x(t)$.

Por ejemplo, ingenuamente, se pueden calcular $\int_{-1}^1 x^4 dx = \frac{1}{2} \int_1^1 u^{3/2} du$$u=x^2$. Pero en realidad la forma correcta de hacer esta sustitución se encontrar $\int_{-1}^1 x^4 dx = \frac{1}{2} \int_1^0 -u^{3/2} du + \frac{1}{2} \int_0^1 u^{3/2} du$ que es distinto de cero. Esto sucede porque cuando pasa a través de $u=0$ usted necesita para cambiar de un local inversa de a $x^2$, es decir,$-\sqrt{u}$, para los otros, es decir,$\sqrt{u}$.

Answer 2

Truco oculto paridad: $$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{2\pi}\frac{x\cos x}{1+\sin^2 x}\,dx = -\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(z+\pi)\cos z}{1+\sin^2 z}\,dx &\color{red}{=}& -2\pi\int_{0}^{\pi}\frac{\cos z}{1+\sin^2 z}\,dz\\[0.2cm]&=&-2\pi\,\left.\arctan(\sin z)\right|_{0}^{\pi}\\&=&\color{red}{0}.\end{eqnarray*}$ $

Answer 3

Si $f$ es cualquier función, a continuación, el símbolo de $\int_{a}^{a}f(x)\,dx$ se define a ser $0$. Que responde a la pregunta del título. Pero parece que tu pregunta es en el contexto de sustitución durante la evaluación de una integral. Lo que sigue es una respuesta detallada en ese contexto.

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Creo que hay algún error en la pregunta. Si sustituye $ t = \sin x$, entonces el integrando $$\frac{x\cos x}{1 + \sin^{2}x}$$ should change to $$\frac{\arcsin t}{1 + t^{2}}$$ Let's assume that this typo is corrected. Then we should ideally have (at least that is what OP is expecting) $$\int_{0}^{2\pi}\frac{x\cos x}{1 + \sin^{2}x}\,dx = \int_{0}^{0}\frac{\arcsin t}{1 + t^{2}}\,dt\tag{1}$$ El cambio de variables se basa en el siguiente teorema:

Si $g'$ es continua en a $[a, b]$ $f$ es continua en a $g([a, b])$ $$\int_{g(a)}^{g(b)}f(t)\,dt = \int_{a}^{b}f(g(x))g'(x)\,dx$$

Tenga en cuenta que en el teorema anterior no necesitamos $g$ a ser estrictamente monótona. Para la pregunta actual., $$f(t) = \frac{\arcsin t}{1 + t^{2}}$$ and $$g(x) = \sin x$$ Clearly $ g'(x) = \cos x$ is continuous on $[0, 2\pi]$. However range of $g$ i.e. $g([0, 2\pi])$ is not just consisting of $0$ but is the interval $[-1, 1]$. Moreover $f(t)$ is clearly continuous on this range $[-1, 1]$ and hence the substitution is justified and the integral should be $0$ by equation $(1)$ (como tanto los límites de integración son iguales).

Entonces, ¿cuál es el problema?? Vamos a ver si tenemos $$f(g(x)) = \frac{x}{1 + \sin^{2}x}\tag{2}$$ for all $x \in [0, 2\pi]$? Clearly if we put $x = \pi$ so that $g(x) = 0$ and then $f(g(x)) = f(0) = 0$ but RHS of $(2)$ is clearly equal to $\pi$ when $x = \pi$. And therefore we get a problem. The reason is simply that we can not write the part $$\frac{x}{1 + \sin^{2}x}$$ into the form $f(g(x))$ for all $x \in [0, 2\pi]$ (the part $\cos x\,dx$ can be safely written in the form $g'(x)dx$). The substitution $t = \sin x$ is thus OK but we are not getting a suitable function $f$ so that the integrand can be expressed in the form $f(g(x))g'(x)$ for all $x \in [0, 2\pi]$.

También vamos a ver por qué no es posible expresar el integrando de la forma $f(g(x))g'(x)$ en este caso en particular. Como se señaló anteriormente, el problema viene en la representación de las $x/(1 + \sin^{2}x)$ en forma de $f(\sin x)$. La razón es que a veces tenemos el integrando no en forma de $f(g(x))g'(x)$ sino más bien en la forma de $f(x, g(x))g'(x)$. Por lo tanto hay una cierta parte de la $f$, que es de $g(x)$, pero en alguna parte no es de $g(x)$, sino que hizo de $x$. Ahora la única manera de conseguir $x$ $g(x)$ es ir por la inversa de la $g^{-1}$ y este sólo existe cuando se $g(x)$ es uno-uno (para funciones continuas, esto implica estricto de la monotonía de la naturaleza). Por lo tanto, en los casos en que el integrando no es de la forma$f(g(x))g'(x)$, pero en lugar de la forma$f(x, g(x))g'(x)$, entonces tenemos que dividir el intervalo de integración en varios sub-intervalos tales que en cada sub-intervalo no es una inversa de a $g(x)$ (lo que implica, $g(x)$ es estrictamente monótona).

Tenga en cuenta que si la integral se $$\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x\cos x}{1 + \sin^{2}x}\,dx\tag{3}$$ then we don't have the problem mentioned above and $t = \sin x$ reduces the above integral to $$\int_{0}^{0}\frac{t}{1 + t^{2}}\,dt = 0$$ The substitution works fine even if we integrate in $[0, \pi]$ and result is $0$.

Cómo salvar la situación para nuestros original integral de la $(1)$?? Hemos dividido el intervalo de $[0, 2\pi]$ en 4 sub-intervalos de igual longitud. Para el intervalo de $[0, \pi/2]$ la función de $f$ está dado por $$f(t) = \frac{\arcsin t}{1 + t^{2}}$$ For $[\pi/2, \pi]$ we have $$f(t) = \frac{\pi - \arcsin t}{1 + t^{2}}$$ For interval $[\pi, 3\pi/2]$ we have $$f(t) = \frac{\pi - \arcsin t}{1 + t^{2}}$$ and finally for $[3\pi/2, 2\pi]$ we have $$f(t) = \frac{2\pi + \arcsin t}{1 + t^{2}}$$ (the bounds for integrating with respect to $t$ are easily calculated for these four intervals by using $t = \sin x$). Note that the above choices for $f(t)$ guarantee that the equation $$f(g(x)) = \frac{x}{1 + \sin^{2}x}$$ is satisfied for all $x \in [0, 2\pi]$.

Por lo tanto, tienen \begin{align} I &= \int_{0}^{2\pi}\frac{x\cos x}{1 + \sin^{2}x}\,dx\notag\\ &= \int_{0}^{\pi/2}\frac{x\cos x}{1 + \sin^{2}x}\,dx + \int_{\pi/2}^{\pi}\frac{x\cos x}{1 + \sin^{2}x}\,dx\notag\\ &\,\,\,\,\,\,\,\, + \int_{\pi}^{3\pi/2}\frac{x\cos x}{1 + \sin^{2}x}\,dx + \int_{3\pi/2}^{2\pi}\frac{x\cos x}{1 + \sin^{2}x}\,dx\notag\\ &= \int_{0}^{1}\frac{\arcsin t}{1 + t^{2}}\,dt + \int_{1}^{0}\frac{\pi - \arcsin t}{1 + t^{2}}\,dt\notag\\ &\,\,\,\,\,\,\,\, + \int_{0}^{-1}\frac{\pi - \arcsin t}{1 + t^{2}}\,dt + \int_{-1}^{0}\frac{2\pi + \arcsin t}{1 + t^{2}}\,dt\notag\\ &= 2\int_{0}^{1}\frac{\arcsin t}{1 + t^{2}}\,dt + 2\int_{-1}^{0}\frac{\arcsin t}{1 + t^{2}}\,dt\notag\\ &\,\,\,\,\,\,\,\,+ 2\pi\int_{-1}^{0}\frac{dt}{1 + t^{2}} - \pi\int_{-1}^{1}\frac{dt}{1 + t^{2}}\notag\\ &= 2\int_{-1}^{1}\frac{\arcsin t}{1 + t^{2}}\notag\\ &= 0\notag \end{align} Por lo que el resultado final es $0$, como se esperaba por la ecuación de $(1)$, pero el cambio de variables en la ecuación de $(1)$ no se justifica porque no se han adecuado las funciones que cumplen los criterios para el cambio de las variables durante el proceso de integración.