Espacios de Sobolev y el dominio del laplaciano fraccionario

Question

Estoy leyendo este artículo en arxiv enlace .

Hasta ahora bien.

Esto sí que no lo entiendo. Toma $s=\frac 12$ . Dicen que por densidad el operador $(-\Delta)^s$ se define en $\mathbb{H}^s(\Omega)$ . Entonces dicen que la teoría de las escalas de Hilbert muestra que el dominio de $(-\Delta)^s$ es $H^1_0(\Omega)$ . Pero en la siguiente línea afirman que $\mathbb{H}^s(\Omega)= H^{\frac 12}_{00}(\Omega)$ que no es $H^1_0(\Omega)$ . ¿Qué me falta?

Answer 1

Creo que los autores son algo inconsistentes en lo que entienden por el dominio de un operador. Ignoremos por ahora las condiciones de contorno y centrémonos en el orden de suavidad.

• El dominio de $(-\Delta)^s$ como operador en $L^2$ es un espacio de Sobolev de orden $2s$ . De hecho, $s$ fracción del Laplaciano es como $2s$ derivados.
• El dominio de $(-\Delta)^s$ como operador de un espacio a su espacio dual es un espacio de Sobolev de orden $s$ . Esto se debe a que $\langle (-\Delta)^s f,g\rangle = \langle (-\Delta)^{s/2} f,(-\Delta)^{s/2} g\rangle$ por lo que tener $s/2$ fracción de Laplaciano (por lo tanto $s$ parte del gradiente) es suficiente.

Cuando se dice que por la densidad, $(-\Delta)^s$ puede ampliarse a $\mathbb{H}^s$ Esto significa que como operador de $\mathbb{H}^s$ a $(\mathbb{H}^s)'$ . De hecho, esto se puede ver en la definición de $\mathbb{H}^s$ : si $u=\sum u_k \varphi_k$ entonces $(-\Delta)^su = \sum u_k \lambda_k^s\varphi_k$ que generalmente no está en $L^2$ desde $\sum |u_k|^2\lambda_k^{2s}$ no tiene por qué ser finito.

Un operador que mapea $\mathbb{H}^s$ en $L^2$ es $(-\Delta)^{s/2}$ . Cuando escriben $\operatorname{Dom}(-\Delta)^{s/2}$ la media como operador en $L^2$ .

Resumen:

• cuando dicen "dominio es", léalo como un operador en $L^2$
• cuando dicen "puede extenderse a", léelo como un operador en el espacio dual.