Demostrar que no existe una función continua $f:\Bbb R\to\Bbb R$ Satisfaciendo a $f(\Bbb Q)\subset\Bbb R-\Bbb Q$ y $f(\Bbb R-\Bbb Q) \subset\Bbb Q$ .

Question

¿Cómo puedo demostrar que no existe una función continua $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ Satisfaciendo a $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$ y $f(\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} ) \subset \mathbb{Q}$ ?

Answer 1

Una pista: $f(\Bbb Q)$ es contable.

Nueva pista dada la edición: $f(\Bbb R)$ debe ser conectado, y por lo tanto un intervalo, y por lo tanto debe contener incontablemente muchos irracionales.

Answer 2

Una pista: Desde $\bf R$ está conectado y $f$ no es constante, por lo que $f(\bf R)$ es conexo y, por tanto, incontable.

Answer 3

SUGERENCIA: Utilice el hecho de que

Entre dos números racionales cualesquiera, tenemos infinitos números irracionales

y de manera similar,

Entre dos números irracionales cualesquiera, tenemos infinitos números racionales.