Si $x(t)$ sea una trayectoria conocida hace el $x(-t)$ ¿representan la trayectoria de desvío?

Question

Afirmación

Si existe invariancia temporal, la ley de Newton (para un sistema descrito por una coordenada generalizada $q$ ) $$m\frac{d^2}{dt^2}q(t)=F\Big(q(t)\Big)\tag{a}$$ implica que si $q(t)$ es una solución, $q(-t)$ también es una solución, es decir $$m\frac{d^2}{dt^2}q(-t)=F\Big(q(-t)\Big)\tag{a1}$$ La aplicación operativa de la inversión del tiempo $t\to -t$ requiere hacer lo siguiente: $$q\to q,\text{and}\dot{q}\to -\dot{q}\tag{b}$$ a los valores instantáneos de $q$ y $\dot{q}$ mediante el cual se hace que el sistema vuelva a recorrer el camino.

Un ejemplo concreto

Supongamos que un oscilador armónico parte de la posición extrema derecha A con unas condiciones iniciales $x=a$ y $\dot{x}=0$ en $t=0$ . Por lo tanto, su trayectoria viene dada por $$x(t)=a\cos\omega t.\tag{1}$$ Alcanza la posición media B en el momento $t=T/4$ en el que $x=0$ y $\dot{x}=-a\omega$ . Ahora la prescripción de la inversión del tiempo (Ec. (b)) requiere que en $t=T/4$ , establecemos $x=0$ y $\dot{x}=+a\omega$ y verificar si la trayectoria se remonta. Es fácil comprobar que con éstas como condiciones iniciales, la solución se convierte en $$x(t)=-a\cos\omega t\tag{2}$$ que, efectivamente, representa la trayectoria de retroceso que BA recorrió desde B hasta A, es decir, la trayectoria (2) es opuesta a la trayectoria descrita por (1).

$\bullet$ Sin embargo, hay que tener en cuenta que la trayectoria de retroceso (2) no se puede obtener a partir de la trayectoria (1) simplemente enviando $t\to -t$ Por lo tanto, tengo la siguiente pregunta.

Pregunta

Si $x(t)$ representa una trayectoria continua AB recorrida en la dirección de A a B, cuya trayectoria debe $x(-t)$ ¿con qué se identifica? De mi ejemplo, parece que $x(-t)$ no es la trayectoria de desvío.

Answer 1

Esto es sólo una cuestión semántica.

• $x(-t)$ es la trayectoria invertida en el tiempo de $x(t)$ . Físicamente, para $t > 0$ se puede imaginar esta trayectoria como la de una partícula que comienza a moverse a una velocidad negativa $t$ , luego se invierte el tiempo (intuitivamente, "golpea un espejo") en $t = 0$ .
• la trayectoria que "invierte el camino" de $x(t)$ por inversión del tiempo en el momento $t_0$ es $x(-t + 2 t_0)$ . Obsérvese que siempre que hablamos de "inversión del tiempo" solo, nos referimos a la inversión del tiempo en el momento $t = 0$ .
• si se cumple la simetría temporal y $x(t)$ es una solución, $x(-t)$ es una solución
• si la simetría de la inversión del tiempo y la simetría de traslación en el tiempo se mantiene, y $x(t)$ es una solución, entonces el "camino inverso" $x(-t + 2 t_0)$ es una solución

La mayoría de las veces, cuando la simetría de inversión del tiempo está presente, la simetría de traslación del tiempo también lo está, por lo que no nos molestamos en distinguir estos dos conceptos.

Por otro lado, consideremos una partícula en el campo eléctrico $E(t) = E_0 (t /t_0)^2$ . Este campo eléctrico obedece a la simetría de inversión del tiempo (sobre el tiempo $t = 0$ como por convención), pero rompe la simetría traslacional del tiempo. Por lo tanto, si $x(t)$ es una solución, también lo es $x(-t)$ pero $x(-t + 2 t_0)$ no lo es, como puedes comprobar.

Answer 2

No conozco la física, pero puedo hablar un poco de las matemáticas. Esto es un ejercicio de transformaciones de funciones : Desplazamientos verticales, escalado/reflejo vertical, desplazamientos horizontales y escalado/reflejo horizontal.

$f(x) + 10$ sería un desplazamiento vertical, $-2f(x)$ sería un tramo vertical + un reflejo vertical o viceversa, y $f(-x)$ es un reflejo horizontal (izquierda/derecha) del gráfico a través del eje y.

Así que imagina un gráfico de $x(t)$ . Empiezas tu pluma en el infinito negativo y dibujas una curva hasta el infinito positivo. Ahora $x(-t)$ es, matemáticamente hablando, sólo la reflexión izquierda/derecha a través del eje y. Por lo tanto, todos los salidas que ocurrió después de $t = 0$ se cambian repentinamente al lado negativo del eje temporal. Es decir, todo lo que ocurre en último lugar, de repente ocurre en primer lugar. Y todo lo que ocurrió primero (en el lado negativo de $t$ ) ahora sucede en último lugar después de hacer la reflexión. Mientras que $x(t)$ traza un camino desde el principio del tiempo hasta el final del tiempo. $x(-t)$ trazaría exactamente el mismo camino, pero a la inversa (traza las posiciones de $x(t)$ al revés).

Así que ahora imagina que empiezas con tu bolígrafo en el infinito negativo. Dibuja algo de $x(t)$ curva hasta $t = 0$ y se detiene. Si desea que el gráfico reflejado en el otro lado de $t = 0$ sólo hacer $x(-t)$ en el otro lado. Por lo tanto, al empezar a mover la pluma de nuevo desde $t = 0$ hasta el infinito, sólo tienes que volver a hacer todo lo que hiciste a la inversa. Ahora veamos otra respuesta a esta pregunta. Digamos que empiezas la pluma en el infinito negativo y dibujas $x(t)$ curva todo el camino hasta $t = t_0$ . Y supongamos que $t_0$ es algún número positivo (no tenemos que hacerlo, ya que es una variable, pero hagámoslo de todos modos). Se detiene el bolígrafo en $t_0$ . Desde $t_0$ en adelante, quieres el retroceso. Por lo tanto, necesita el gráfico reflejado de $x(t)$ al otro lado de la línea $t = t_0$ . Entonces dices, hmmmm. ¿Qué pasa si hago el gráfico reflejado a través del eje y $x(-t)$ ? Pero entonces te das cuenta de que tienes que empujar el gráfico hacia la derecha por $2t_0$ . Este es un combinación de la transformación de la función. Combinar 2 transformaciones horizontales es un poco más difícil que 2 transformaciones verticales. Pero, no obstante, el gráfico de la derecha de $t = t_0$ será $x(-(t - 2t_0))$ o $x(-t + 2t_0)$ que es la respuesta del knzhou.