Evaluación de los límites mediante la serie McLaurin

Question

Tengo algunas preguntas sobre el uso de la serie de McLaurin para evaluar los límites. Me encontré con un problema y estoy atascado.

Este es el problema:

$$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)(\cos(2x))^{1/2}}{x^{2}}$$

Expando el primer coseno a la segunda potencia y expandiendo el segundo a la cuarta potencia de x. Estoy atascado en el siguiente paso ya que no puedo factorizar x al cuadrado de ambas expresiones porque obtengo $1/x^{2}$ y cuando x va a cero que aparentemente no es lo que debería obtener en la respuesta. ¿No estoy viendo algo obvio aquí?

Answer 1

Necesitamos la siguiente expansión para $x\to0$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$$

$$\cos 2x=1-\frac{4x^2}{2}+o(x^2)=1-2x^2+o(x^2)$$

$$(1+x)^a=1+ax+o(x)\implies \sqrt{\cos 2x}=(1-2x^2+o(x^2))^\frac12=1-x^2+o(x^2)$$

así

$$\frac{1-\cos{x}\sqrt{\cos2x}}{x^2}=\frac{1-\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)(1-x^2+o(x^2))}{x^2}=$$ $$\frac{1-1+\frac{3x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=\frac32+o(1)\to \frac32$$

Answer 2

$$\cos{x}=1-\frac{x^2}{2}+...,$$ $$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+....$$ Así, $$\frac{1-\cos{x}\sqrt{\cos2x}}{x^2}=\frac{1-\left(1-\frac{x^2}{2}+...\right)\left(1+\frac{-2x^2+...}{2}\right)}{x^2}\rightarrow\frac{3}{2}$$

Answer 3

$$\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}$$

$$\cos(2x) \approx 1 - 2x^2$$

Sustitúyalo y obtendrá

$$\frac{1 - (1 - x^2/2)\sqrt{1 - 2x^2}}{x^2}$$

Otra expansión para la raíz cuadrada:

$$\sqrt{1 - 2x^2}\approx 1-x^2$$

Por lo tanto,

$$\frac{1 - (1 - x^2/2)(1 - x^2)}{x^2} = \frac{1 - (1 - x^2 - x^2/2 + x^4/2)}{x^2} = \frac{3x^2/2 - x^4/2}{x^2} = \frac{3}{2}$$

Answer 4

Una pista: $$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)(\cos(2x))^{1/2}}{x^{2}}=\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)(\cos(2x))^{1/2}}{x^{2}}\frac{1+\cos(x)(\cos(2x))^{1/2}}{1+\cos(x)(\cos(2x))^{1/2}}\\=\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos^2(x)\cos(2x)}{x^{2}}\frac{1}{1+\cos(x)(\cos(2x))^{1/2}}$$

El segundo límite es una función continua, y el primero se puede evaluar con series de MacLaurin.