Problema del valor inicial con solución errónea, no puedo encontrar mi error

Question

Actualmente estoy trabajando en el siguiente ejercicio:

$$ 4y''+ 4y'+ 5y = 0\,,\qquad y\left(\pi\right) = 1 \,,\quad y'\left(\pi\right) = 0 $$

Mi solución a este ejercicio es $$ {\rm e}^{-x/2}\left[\,{-\cos\left(x\right)/{\rm e}^{-\pi/2} - \sin\left(x\right)/{\rm e}^{-\pi/2}}\,\,\right], $$ pero no estoy seguro de esta respuesta ya que Symbolab ( https://www.symbolab.com/solver/simplify-calculator/4y''%2B4y'%2B5y%3D0%2C%20y%5Cleft(%5Cpi%5Cright)%3D1%2C%20y'%5Cleft(%5Cpi%20%5Cright)%3D0 ) me dice algo más.

¿Puede alguien corregir mi respuesta o confirmar la respuesta correcta?

Gracias.

Answer 1

La solución general viene dada por

$$y(x) = c_1 e^{-x/2} \sin(x) + c_2 e^{-x/2} \cos(x)$$

La derivada viene dada por

$$y'(x) = \dfrac{1}{2} e^{-x/2} (c_1 (2 \cos(x) - \sin(x)) - c_2 (2 \sin(x) + \cos(x)))$$

Evaluar $y(x)$ en $x = \pi$

$$y(\pi) = -c_2 e^{-\pi/2} = 1$$

Evaluar $y'(x)$ en $x = \pi$

$$y'(\pi) = \dfrac{1}{2} e^{-\pi/2} (c_2 - 2 c_1) = 0$$

¿Puedes resolver esos dos para $c_1$ y $c_2$ ?