Deduciendo que $a$ tiene orden $n$ en un grupo $G$ .

Question

Supongamos que $a^n = 1$ en un grupo $G$ . Demostrar que si, para cada primo $p$ dividiendo $n$ tenemos $a^{n/p}\ne 1$ entonces $a$ tiene orden $n$ .

Answer 1

En aras de la contradicción, supongamos que $r<n$ es el orden de $a$ . Entonces $r$ es un divisor de $n$ y existe un primo $p$ que divide $n/r$ . Poniendo esto en orden, $$a^{n/p}=a^{(rn/r)/p}=a^{rs}=(a^r)^s=1,$$ donde $s$ es el número entero $n/rp$ .