Es $\sum_{a=0}^m\sum_{b=0}^n\cos(abx)$ ¿siempre positivo?

Question

Fijar números enteros $m,n\geq0$ .

¿Tenemos la desigualdad $\displaystyle\sum_{a=0}^m\sum_{b=0}^n\cos(abx)>0$ para todos $x\in\mathbb{R}$ ?

También podemos escribir esta función como \begin{align*} \sum_{a=0}^m\sum_{b=0}^n\cos(abx)&=m+n+1+\sum_{a=1}^m\sum_{b=1}^n\cos(abx)\\ &=m+n+1+\sum_{a=1}^m\frac{1}{2}\left(\frac{\sin((n+1/2)ax)}{\sin(ax/2)}-1\right)\\ &=\frac{m}{2}+n+1+\frac{1}{2}\sum_{a=1}^mD_n(ax), \end{align*} donde $$D_n(x)=\frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}$$ es el núcleo de Dirichlet (hasta un factor de $2\pi$ dependiendo de su convención).

Utilizando esta fórmula, es fácil comprobar la conjetura para valores pequeños de $m$ y $n$ ( enlace de desmos ).

Answer 1

¡No! Considera el caso $m = n$ y $x = \frac{8}{4n + 3}$ . Tenemos

\begin{split} \sum_{a=0}^n \sum_{b=0}^n \cos(abx) &= \frac{3n}{2} + 1 + \frac12 \sum_{a=1}^n \frac{\sin\left(\left(n + \frac12\right)ax\right)}{\sin\left(\frac12ax\right)} \\ &= \frac{3n}{2} + 1 + \frac12 \sum_{a=1}^n \frac{\sin\left(2a - \frac{2a}{4n + 3}\right)}{\sin\left(\frac{4a}{4n + 3}\right)} \\ &= \frac{3n}{2} + 1 + \frac12 \sum_{a=1}^n \frac{\sin\left(-\frac{2a}{4n + 3}\right)}{\sin\left(\frac{4a}{4n + 3}\right)} \\ &= \frac{3n}{2} + 1 - \frac14 \sum_{a=1}^n \sec\left(\frac{2a}{4n + 3}\right) \\ &< \frac{3n}{2} + 1 - \frac14 \int_0^n \sec\left(\frac{2a}{4n + 3}\right)\,da \\ &= \frac{3n}{2} + 1 + \frac{4n + 3}{8} \ln \tan \frac{3}{4(4n + 3)} \\ &\sim \frac{3n}{2} + 1 + \frac{4n + 3}{8} \ln \frac{3}{4(4n + 3)} \\ & - \quad \text{as $n $}. \end{split}

Podemos confirmarlo trazando la suma exacta en $m = n$ y $x = \frac{8}{4n + 3}$ (azul); primero se vuelve negativo en $n = 3286$ . Al optimizar $x$ cerca de $\frac{8}{4n + 3}$ para minimizar la suma (naranja), encontramos un valor negativo ligeramente anterior en $m = n = 3161$ y $x = 0.001987239$ .