determinar la función compleja

Question

Problema

Dejemos que $f$ sea holomorfo en $D=\{|x+iy|< 1\}$ con

1. $|f|\le |y|^{-1/2}$
2. $\lim_{r\rightarrow 1} f(re^{i\theta}) = 0$ para cualquier $\theta\in[0,2\pi]$

Prueba $f = 0$ .

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Es un viejo problema de calificación, creo que parece suficiente si aplico el principio de máxima según la segunda condición [no estoy seguro...:)], no estoy muy seguro de cómo utilizar la primera condición.

Gracias.

Answer 1

Gracias a @YoniRozenshein por señalar un error inicial, y a @Yimin por señalar una solución.

Aplicar la DCT a la fórmula integral de Cauchy.

Supongamos que $|z_0| < s <r <1$ . Entonces $f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\gamma_r} \frac{f(z)}{z-z_0} dz = \frac{1}{2 \pi } \int_0^{2 \pi} \frac{f(r e^{i \theta})}{r e^{i \theta}-z_0} r e^{i \theta} d\theta$ , de lo que obtenemos $|f(z_0)| \le \frac{r}{2 \pi } \int_0^{2 \pi} \frac{|f(r e^{i \theta})|}{|r e^{i \theta}-z_0|} d\theta \le \frac{1}{2 \pi } \int_0^{2 \pi} \frac{|f(r e^{i \theta})|}{|r e^{i \theta}-z_0|} d\theta$ .

Dejemos que $g_r (\theta) = \frac{|f(r e^{i \theta})|}{|r e^{i \theta}-z_0|}$ , para $r \in (s,1)$ . Desde $|r e^{i \theta}-z_0|\ge s -|z_0|$ tenemos $g_r (\theta) \le \frac{|f(r e^{i \theta})|}{s -|z_0|}$ y por lo tanto $\lim_{r \uparrow 1} g_r (\theta) = 0$ para todos $\theta$ . Para aplicar la DCT, necesitamos acotar $g_r$ por alguna función integrable $g_1$ .

Tenemos $|f(r e^{i \theta})| \le \frac{1}{\sqrt{r |\sin \theta|}}$ por supuesto, y $|\sin(x)| \ge \frac{1}{2} \min_{k \in \mathbb{Z}} |x-k\pi|$ , lo que da $g_r (\theta) \le g_1(\theta)= (\frac{1}{s-|z_0|} \frac{1}{\sqrt{s}}) \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\min_{k \in \mathbb{Z}} |\theta-k\pi|}}$ . Un pequeño trabajo demuestra que $\int_0^{2 \pi} g_1 = 8\sqrt{\pi} (\frac{1}{s-|z_0|} \frac{1}{\sqrt{s}})$ y por tanto integrable.

De ello se desprende que $|f(z_0)| \le \frac{1}{2 \pi} \lim_{r \uparrow 1} \int_0^{2 \pi} g_r = 0$ . Desde $z_0 \in D$ era arbitraria, estamos acabados.