Una pregunta sobre las unidades en los dominios integrales.

Question

Artin dice que todo elemento de un dominio integral puede expresarse de forma única como un producto de elementos irreducibles. Este artículo dice que los elementos irreducibles son no unidades que no son el producto de dos no unidades.

1. Es $1$ ¿una unidad? $1*1=1$ Por lo tanto $1$ es la inversa de sí misma.
2. Diga $a$ es un irreducible. $a=b*c$ , donde $b$ y $c$ son ambas unidades, pero no las inversas de la otra. ¿Es posible esta situación?
3. ¿Cuál es la motivación para no permitir que una unidad sea un factor irreductible de otro elemento? De alguna manera deduzco que entonces la factorización de un elemento no será única (es decir $a=b*c*d=u*u^{-1}*b*c*d$ ), pero esto parece ser una trivialidad. ¿Por qué no se puede $a=u*b*c$ , donde $u$ ¿es una unidad?

Gracias de antemano.

Answer 1

1) No, $1$ no es irreducible. Por definición, los elementos irreducibles no pueden ser unitarios. Como $1$ es la unidad, $1$ no es irreducible.

2) Este escenario es imposible. Si $b$ y $c$ son unidades, entonces su producto $bc$ también es una unidad, por lo que no puede ser irreducible.

3) Tienes razón. La razón por la que no se permite que las unidades sean irreducibles es exactamente la que señalas. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}$ si permitimos $1$ o $-1$ (que son las únicas unidades en $\mathbb{Z}$ ) aparezca en la factorización, entonces la factorización primaria de un número entero no sería única: ya que podemos escribir $15=(-1)\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot (-1)$ o $15=3\cdot 5\cdot (-1)\cdot (-1)$ o de muchas otras maneras.