Pregunta sobre una función aritmética con la criba de Eratóstenes

Question

Quiero hacer una pregunta relacionada con el tamiz de Eratóstenes.

El tamiz de Eratóstenes: escríbalo como $E_1(x) (=\pi(x)-\pi(\sqrt x)+1)$ .

Entonces tenemos un resultado obvio $$E_1(x)/x\ln^{-1}x = 1,$$ como $x\rightarrow \infty$ por PNT.

La pregunta viene, podemos pensar en el peso $a$ (entero positivo) a cada suma de la serie, y escribirla como $E_a(x)$ . (No es un "colador" cuando $a>1$ .) En detalle, $$E_a(x):=x- a \sum \lfloor \frac{x}{p_i} \rfloor + a^2 \sum \lfloor \frac{x}{p_i p_j} \rfloor - \cdots ,$$ para el mismo índice del tamiz de Eratóstenes.

Entonces la cuestión es que : ¿Hay algunas constantes $c_a$ tal que satisfaga $$E_a(x)/x\ln^{-a}x = c_a ?$$ Y, ¿hay algún documento o debate sobre esta función?

Me han buscado en él, pero no han encontrado nada.

Gracias por leer.

Answer 1

Así como la fórmula original del tamiz de Eratóstenes es una reescritura de $$E_1(x) = \sum_{n\le x} \prod_{\substack{p\le\sqrt x \\ p\mid n}} (1-1) = \sum_{\substack{n\le x \\ p\mid n\Rightarrow p>\sqrt x}} 1,$$ esta modificación es la misma que $$E_a(x) = \sum_{n\le x} \prod_{\substack{p\le\sqrt x \\ p\mid n}} (1-a) = \sum_{n\le x} (1-a)^{\omega_{\sqrt x}(n)},$$ donde $\omega_{\sqrt x}(n)$ es el número de primos distintos hasta $\sqrt x$ que dividen $n$ . Esta suma debería ser bastante similar a $\sum_{n\le x} (1-a)^{\omega(n)}$ que es clásico incluso para $a$ un número complejo (ver los libros de Montgomery/Vaughan o Tenenbaum).