¿Por qué tiene la definición de los límites de una función de estricta desigualdad?

Question

Definición (Como está escrito en Michael Spivak del Cálculo)

La función de $f$ se aproxima a un límite de $l$ cerca de $a$ significa que: para cada $\epsilon >0$ hay algo de $\delta > 0$ tal que, para todos los $x$ si $0<|x-a|<\delta$,$|f(x)-l|<\epsilon$.

mi pregunta es: ¿por qué no puedo ser: $$0<|x-a|\leq \delta,|f(x)-l|\leq \epsilon$$ Después de mirar los límites de las funciones de un largo tiempo sólo para captar su significado y el uso de la definición de un buen montón de resolución de la tarea me di cuenta de que seguir escribiendo el mismo de la desigualdad sin entender realmente por qué.

La única explicación que se da en el libro de Spivak para esta parte de la definición va sobre él sin explicar la desigualdad. He intentado buscar una explicación a mí, pero realmente no era capaz de encontrar nada malo con ello. También es posible escribir la definición como la que o hay un problema con eso?

(primer no-tareas relacionadas con la pregunta :p)

Answer 1

Excelente pregunta. De hecho, resulta que la definición de con $\leq$ es equivalente.

Supongamos que $f$ se acerca al límite $l$ cerca de $a$ el uso de la definición estándar (el de la $<$), por lo que para cada $\epsilon >0$ hay algo de $\delta > 0$ tal que, para todos los $x$ si $0<|x-a|<\delta$,$|f(x)-l|<\epsilon$.

A continuación, también se da el caso de que por cualquier $\epsilon>0$, hay algunos $\gamma>0$ tal que, para todos los $x$ si $0<|x-a|\leq\gamma$,$|f(x)-l|\leq\epsilon$. ¿Cuál es el $\gamma$ podemos producir? Así, tomando el $\delta$ sabemos que existe para esta $\epsilon$ en el párrafo anterior, podemos optar $\gamma=\frac{\delta}{2}$, debido a que $$0<|x-a|\leq\frac{\delta}{2}\implies 0<|x-a|<\delta,$$ y sabemos que cualquier $x$ $0<|x-a|<\delta$ satisface $|f(x)-l|<\epsilon$, así que sin duda cualquiera de dichas $x$ también satisfacer $|f(x)-l|\leq\epsilon$.

(En caso de que no esta claro, el hecho de que hemos usado la letra de $\gamma$ aquí es de ninguna consecuencia; yo sólo lo hizo para ayudar a mantener las dos situaciones de separar mentalmente.)

Por lo tanto, si $f$ se acerca al límite $l$ cerca de $a$ $<$ definición, también se enfoque el límite de $l$ cerca de $a$ $\leq$ definición.

Mostrando la otra implicación es similar.

Answer 2

Veamos las definiciones más cuidadosamente. Supongamos $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y en el punto de $a$ el "límite" es $L$.

1. $$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathbb{R})\ (0<\left|x-a\right|<\delta\implies \left|f(x)-L\right|<\epsilon)$$
2. $$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathbb{R})\ (0<\left|x-a\right|\le \delta\implies \left|f(x)-L\right|\le\epsilon)$$

Las dos son equivalentes. De hecho voy a probar a $1\implies 2$ $2\implies 1$

Supongamos que 1. Deje $\epsilon>0$. A continuación,$\exists \delta>0$, de modo que $\forall x\in \mathbb{R}$, $$\left|x-a\right|<\delta\implies \left|f(x)-L\right|<\epsilon$$ Elija $0<\delta^{\prime}<\delta$. A continuación, $$0<\left|x-a\right|\le \delta^{\prime}\implies 0<\left|x-a\right|<\delta\implies \left|f(x)-L\right|<\epsilon\implies \left|f(x)-L\right|\le\epsilon$$

Supongamos que 2. Deje $\epsilon>0$ y elija $0<\epsilon^{\prime}<\epsilon$. A continuación,$\exists \delta>0$, de modo que $\forall x\in \mathbb{R}$, $$\left|x-a\right|\le \delta\implies \left|f(x)-L\right|\le \epsilon^{\prime}$$ A continuación, $$0<\left|x-a\right|<\delta\implies \left|x-a\right|\le\delta\implies \left|f(x)-L\right|\le \epsilon^{\prime}\implies \left|f(x)-L\right|<\epsilon$$

Nota: Como Zev punto anterior, podemos elegir siempre $\delta^{\prime}=\frac{\delta}2$ y $\epsilon^{\prime}=\frac{\epsilon}2$. Usted puede también desear preguntar por qué sólo hay consecuencias y no las equivalencias en el 2 definiciones