Cuando debería estar haciendo cohomology?

Question

Antecedentes: soy una lógica de estudiante con muy poco fondo en la cohomology etc., así que esta pregunta es bastante ingenuo.

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Aunque la lógica matemática es generalmente percibido como sentado fuera en sus el propios, son algunas de las sorprendentes aplicaciones de la algebraicas/geométrica/combinatoria de las ideas de la lógica. En general, estoy muy interesado en la siguiente pregunta general:

"¿Cómo debo ir a buscar las piezas de las matemáticas, lejos de la lógica matemática, que tienen relación con alguna pieza de la lógica matemática?"

Ahora mismo, estoy especialmente interesado en los siguientes:

"Cuando debo pensar" cohomology!'?"

El ejemplo concreto que me estoy motivado por un par de artículos de Dan Talayco (http://arxiv.org/pdf/math/9311205.pdf, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0168007295000240) en el que desarrolla cohomology teorías para dos puramente conjunto teórico objetos: Hausdorff lagunas, y particularmente extraño infinito árboles ("Todorcevic árboles").

En el comienzo de su papel en Hausdorff lagunas, Talayco menciona que

"el original de la observación de que las diferencias son cohomological en la naturaleza se debe a Blass."

Esto es algo que quiero ser capaz de hacer! Puedo decir que, por ejemplo, Hausdorff lagunas son todos acerca de "no ser capaz de llenar algo", pero es un largo camino entre esa vaga declaración y la intuición de que debe haber un cohomology teoría, y mucho menos viniendo para arriba con los detalles. Así que mi pregunta es:

Pregunta. Cuando debo sospechar que alguna pieza de matemáticas (idealmente lejos de álgebra/geometría) tiene un cohomological interpretación, y cómo hago para averiguar lo que los detalles deben ser?

Para aclarar: a pesar de ser "útil" siempre es bueno, sólo estoy preguntando ¿cómo puedo saber que cohomology puede estar asociado a alguna pieza de las matemáticas (especialmente la lógica), independientemente de si los rendimientos de los nuevos resultados.

Answer 1

Supongo que me voy a tomar un crack en esto.

Primero de todo, es probable que valga la pena para que usted pueda aprender algunas cohomology en su hogar original, de modo que usted tiene cierta intuición para él, y un poco de conocimiento de lo que los teoremas hay, cómo se calcula, etc. No dar mucho indicación, en su respuesta al cómo mucho conocimiento de cohomology que tienen en la actualidad.

Generalmente la intuición detrás de cohomology grupos es que se trata de medir el fracaso de la "localmente coherente" que las cosas sean "coherentes a escala mundial".

Ejemplos:

La primera de Rham cohomology grupo de los perforado avión es de 1 dimensiones ya que no hay (hasta el gradiente de una función global) sólo 1 campo de vectores en este espacio que es localmente un gradiente de una función, pero no a nivel mundial el gradiente de una función.

El triángulo de Penrose representa un trivial cohomology de clase sobre el grupo multiplicativo de positivos reales, ya que "localmente" se parece a un dibujo con perspectiva, pero no hay ninguna "global" objeto de darse cuenta de que.

Si las tasas de intercambio entre los países permiten el arbitraje, a continuación, no es globalmente coherente de la tasa de cambio, por lo que la actual tasa de cambio dar un trivial cohomology de la clase.

El axioma de elección dice que cada surjection divisiones. De hecho, incluso sin el axioma de elección, cada surjection divide localmente (para cada punto en el codominio, puedo encontrar una relación inversa entre la imagen), y así el axioma de elección es un local al global de la declaración: estos locales inversas pueden ser montados en una sección global. Blass ha escrito un poco sobre esto aquí, pero todavía hay mucho más trabajo por hacer con este concepto.

La moral es sólo para estar en el puesto de observación para las situaciones donde las cosas parece encajar en pedacitos pequeños, pero de alguna manera que el conjunto no funciona. Hay, más que probable, cohomology de jugar a esto de alguna manera.

Voy a mencionar que (desde mi perspectiva) gavilla cohomology probablemente formaliza esta intuitiva perspectiva de lo mejor, ya que usted no tiene que comenzar con una secuencia de mapas con diferenciales (de donde aquellos que vienen?) sólo una noción de objetos locales y cómo parchear. Así que yo recomendaría aprender algunas gavilla cohomology si usted está planeando en busca de cohomology lejos de la topología algebraica.

Answer 2

Como Steven Gubkin y Ryan Budney ya han señalado, cohomology se utiliza a menudo para medir hasta qué punto un localmente coherente" objeto de ser "coherentes a escala mundial". Pensé que podría describir otro ejemplo de esto en la teoría de conjuntos, que resulta contiene una gran cantidad de problemas abiertos. Hasta donde yo sé, este ejemplo no ha sido escrito en cualquier lugar, así que voy a tener que ser un poco detallado. No voy a intentar una respuesta efectiva a la OP de la pregunta, pero espero que lo que escribo puede ser útil.

Descargo de responsabilidad: Justin Moore me dijo acerca de este problema hace muchos años, cuando yo era sólo el comienzo de la escuela de posgrado. Lo que estoy escribiendo es lo que he sido capaz de reconstruir a partir de la memoria de la conversación; no podría ser la más actualizada información sobre el problema, o la mejor descripción.

Dado un subconjunto de $Una$ de $\omega$, deje que $\Gamma(A) = \prod_{n\in A} \mathbb{Z} / \bigoplus_{n\in A} \mathbb{Z}$. Por lo tanto, un elemento de $\Gamma(Una)$ puede ser descrito como la clase de equivalencia de una función $f : A\to\mathbb{Z}$, donde la equivalencia es de "$f$ y $g$ difieren en que en la mayoría de finitely-muchos de coordenadas."

Ahora, dada una familia de $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(\omega)$ y $n < \omega$, se definen los grupos $$C_n(\mathcal{A}) = \prod_{A_1,\ldots,A_n} \Gamma(A_1\cap\cdots \cap A_n)$$

Cuando $n = 0$, esta definición es un poco ambigua, por lo que aprovechamos la oportunidad para identificar $C_0(\mathcal{A})$ con $\Gamma(\omega)$. (Se puede argumentar que esa es la forma correcta de hacer las cosas, pero lo voy a dejar para el lector.) Ahora podemos definir coboundary mapas de $\delta_n : C_n\C_{n+1}$ (para todo $n$, incluyendo $n = 0$) $$\delta_n(F)(A_1,\ldots,A_{n+1}) = \sum_{k=0}^n (-1)^k F(A_1,\ldots,\widehat{A_{k+1}},\ldots,A_{n+1})$$ donde como de costumbre $\widehat{A_{k+1}}$ significa que soltar $A_{k+1}$ de la lista. Uno puede ser tan habitual que $\delta_{n+1}\circ \delta_n = 0$, entonces $H_n(\mathcal{A}) = \ker{\delta_{n+1}} / \textrm{im}\;\delta_n$ tiene sentido.

Si usted trabaja a través de las definiciones, se puede ver que $\delta_0$ asigna una función (o más exactamente, de su clase de equivalencia) a sus restricciones a los elementos de $\mathcal{A}$. $\delta_1$ toma una colección de funciones definidas sobre los miembros de $\mathcal{A}$ a sus diferencias (en el pares intersecciones).

Por lo tanto, un miembro de $\ker{\delta_1}$ es una familia de funciones $f_A : A\to \mathbb{Z}$ ($A\in\mathcal{A}$ que $f_A\upharpoonright A\cap B$ y $f_B\upharpoonright A\cap B$ de acuerdo mod-finito para cada $a,B$. Estas familias han sido estudiados antes por un conjunto de teóricos, y son llamados coherente de las familias. La cuestión de si una familia coherente es en $\textrm{im}\;\delta_0$ es exactamente lo que se trata en el Dow, Simon y Vaughan papel "Fuerte homología y el correcto forzar el axioma". Demostrar las siguientes (estoy parafraseando un poco):

Teorema 1: Supongamos que $\mathfrak{d} = \omega_1$. Entonces no es un $P$-ideal $\mathcal{I}\subseteq\omega$ (de hecho, $\mathcal{I}$ es de solo $\emptyset\times\textrm{aleta}$ que $H_0(\mathcal{I}) \neq 0$.

Teorema 2: se supone que el Correcto Forzar Axioma. Entonces $H_0(\mathcal{I}) = 0$ para todo $P_{\aleph_1}$-ideal $\mathcal{I}$.

En realidad, no es difícil demostrar que $2^\omega < 2^{\omega_1}$ implica que $H_0(\mathcal{A})$ tiene $2^{\omega_1}$, siempre que $\mathcal{A}$ es $\subconjunto^*$-aumento de $\omega_1$-secuencia en $\mathcal{P}(\omega)$. Por otra parte, Velickovic demuestra el Teorema 2 de apenas OCA en su papel de "la OCA y automorfismos de $\mathcal{P}(\omega)/\mathrm{aleta}$".

Bueno, así que tenemos un montón de preguntas natural!

Pregunta: ¿Cuál es el posible comportamiento de $H_n(\mathcal{A})$ para diferentes conjuntos de $\mathcal{A}$ y $n\ge 1$? ¿PFA (o MM, o lo que sea) implica que todos son triviales, siempre que (dicen) $\mathcal{A}$ es un $P$-ideal? Podemos siempre obtienen $H_n(\mathcal{A}) \neq 0$ para todo $n\ge 1$? Todos al mismo tiempo? Etc.

He aquí otra, totalmente independientes problema. Se sabe que por cada $n$, $\sigma$-$$n-ligado poset de tamaño $\mathfrak{b}$, que no tiene $n+1$-vinculado subconjunto de tamaño $\mathfrak{b}$. (Ver Todorcevic, "Observaciones sobre la celularidad en los productos.") Se puede expresar esta usando cohomology (o tal vez de homología)?