Como Steven Gubkin y Ryan Budney ya han señalado, cohomology se utiliza a menudo para medir hasta qué punto un localmente coherente" objeto de ser "coherentes a escala mundial". Pensé que podría describir otro ejemplo de esto en la teoría de conjuntos, que resulta contiene una gran cantidad de problemas abiertos. Hasta donde yo sé, este ejemplo no ha sido escrito en cualquier lugar, así que voy a tener que ser un poco detallado. No voy a intentar una respuesta efectiva a la OP de la pregunta, pero espero que lo que escribo puede ser útil.
Descargo de responsabilidad: Justin Moore me dijo acerca de este problema hace muchos años, cuando yo era sólo el comienzo de la escuela de posgrado. Lo que estoy escribiendo es lo que he sido capaz de reconstruir a partir de la memoria de la conversación; no podría ser la más actualizada información sobre el problema, o la mejor descripción.
Dado un subconjunto de $Una$ de $\omega$, deje que $\Gamma(A) = \prod_{n\in A} \mathbb{Z} / \bigoplus_{n\in A} \mathbb{Z}$. Por lo tanto, un elemento de $\Gamma(Una)$ puede ser descrito como la clase de equivalencia de una función $f : A\to\mathbb{Z}$, donde la equivalencia es de "$f$ y $g$ difieren en que en la mayoría de finitely-muchos de coordenadas."
Ahora, dada una familia de $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(\omega)$ y $n < \omega$, se definen los grupos $$ C_n(\mathcal{A}) = \prod_{A_1,\ldots,A_n} \Gamma(A_1\cap\cdots \cap A_n)$$
Cuando $n = 0$, esta definición es un poco ambigua, por lo que aprovechamos la oportunidad para identificar $C_0(\mathcal{A})$ con $\Gamma(\omega)$. (Se puede argumentar que esa es la forma correcta de hacer las cosas, pero lo voy a dejar para el lector.) Ahora podemos definir coboundary mapas de $\delta_n : C_n\C_{n+1}$ (para todo $n$, incluyendo $n = 0$) $$\delta_n(F)(A_1,\ldots,A_{n+1}) = \sum_{k=0}^n (-1)^k F(A_1,\ldots,\widehat{A_{k+1}},\ldots,A_{n+1})$$ donde como de costumbre $\widehat{A_{k+1}}$ significa que soltar $A_{k+1}$ de la lista. Uno puede ser tan habitual que $\delta_{n+1}\circ \delta_n = 0$, entonces $H_n(\mathcal{A}) = \ker{\delta_{n+1}} / \textrm{im}\;\delta_n$ tiene sentido.
Si usted trabaja a través de las definiciones, se puede ver que $\delta_0$ asigna una función (o más exactamente, de su clase de equivalencia) a sus restricciones a los elementos de $\mathcal{A}$. $\delta_1$ toma una colección de funciones definidas sobre los miembros de $\mathcal{A}$ a sus diferencias (en el pares intersecciones).
Por lo tanto, un miembro de $\ker{\delta_1}$ es una familia de funciones $f_A : A\to \mathbb{Z}$ ($A\in\mathcal{A}$ que $f_A\upharpoonright A\cap B$ y $f_B\upharpoonright A\cap B$ de acuerdo mod-finito para cada $a,B$. Estas familias han sido estudiados antes por un conjunto de teóricos, y son llamados coherente de las familias. La cuestión de si una familia coherente es en $\textrm{im}\;\delta_0$ es exactamente lo que se trata en el Dow, Simon y Vaughan papel "Fuerte homología y el correcto forzar el axioma". Demostrar las siguientes (estoy parafraseando un poco):
Teorema 1: Supongamos que $\mathfrak{d} = \omega_1$. Entonces no es un $P$-ideal $\mathcal{I}\subseteq\omega$ (de hecho, $\mathcal{I}$ es de solo $\emptyset\times\textrm{aleta}$ que $H_0(\mathcal{I}) \neq 0$.
Teorema 2: se supone que el Correcto Forzar Axioma. Entonces $H_0(\mathcal{I}) = 0$ para todo $P_{\aleph_1}$-ideal $\mathcal{I}$.
En realidad, no es difícil demostrar que $2^\omega < 2^{\omega_1}$ implica que $H_0(\mathcal{A})$ tiene $2^{\omega_1}$, siempre que $\mathcal{A}$ es $\subconjunto^*$-aumento de $\omega_1$-secuencia en $\mathcal{P}(\omega)$. Por otra parte, Velickovic demuestra el Teorema 2 de apenas OCA en su papel de "la OCA y automorfismos de $\mathcal{P}(\omega)/\mathrm{aleta}$".
Bueno, así que tenemos un montón de preguntas natural!
Pregunta: ¿Cuál es el posible comportamiento de $H_n(\mathcal{A})$ para diferentes conjuntos de $\mathcal{A}$ y $n\ge 1$? ¿PFA (o MM, o lo que sea) implica que todos son triviales, siempre que (dicen) $\mathcal{A}$ es un $P$-ideal? Podemos siempre obtienen $H_n(\mathcal{A}) \neq 0$ para todo $n\ge 1$? Todos al mismo tiempo? Etc.
He aquí otra, totalmente independientes problema. Se sabe que por cada $n$, $\sigma$-$$n-ligado poset de tamaño $\mathfrak{b}$, que no tiene $n+1$-vinculado subconjunto de tamaño $\mathfrak{b}$. (Ver Todorcevic, "Observaciones sobre la celularidad en los productos.") Se puede expresar esta usando cohomology (o tal vez de homología)?
